Questão de Estatística · FCC TRT4 2022 (nº 46)

Um intervalo de confiança é uma estimativa de um parâmetro populacional (como a média $\mu$) que consiste em uma faixa de valores, calculada a partir de dados de uma amostra, e que tem uma certa probabilidade (nível de confiança) de conter o verdadeiro valor do parâmetro. A fórmula geral para o intervalo de confiança da média populacional, quando a variância populacional é conhecida ou a amostra é grande, é $\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, onde $\bar{x}$ é a média amostral, $Z_{\alpha/2}$ é o valor crítico da distribuição normal padrão para o nível de confiança desejado, $\sigma$ é o desvio padrão populacional e $n$ é o tamanho da amostra. A amplitude do intervalo é $2 \times Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Vamos resolver o problema passo a passo:

1. Encontrar o desvio padrão populacional ($\sigma$) usando a primeira amostra:

   • Tamanho da amostra ($n_1$): 36
   • Média amostral ($\bar{x}_1$): 80
   • Intervalo de Confiança (IC1): [75,08; 84,92]
   • Nível de Confiança: 90%
   • A margem de erro ($E_1$) é a metade da amplitude do intervalo, ou a diferença entre a média amostral e um dos limites do intervalo.
     $E_1 = 84,92 - 80 = 4,92$.
   • Para um nível de confiança de 90%, $\alpha = 1 - 0,90 = 0,10$, então $\alpha/2 = 0,05$.
   • Precisamos encontrar o valor de $Z_{0,05}$ tal que $P(Z \le Z_{0,05}) = 1 - 0,05 = 0,95$.
   • Consultando a tabela fornecida: $P(Z \le 1,64) = 0,9495$ e $P(Z \le 1,65) = 0,9505$.
   • Se usarmos $Z_{0,05} = 1,64$, a margem de erro seria $1,64 \times \frac{\sigma}{\sqrt{36}} = 1,64 \times \frac{\sigma}{6}$.
   • Sabemos que $E_1 = 4,92$. Então, $4,92 = 1,64 \times \frac{\sigma}{6}$.
   • $\sigma = \frac{4,92 \times 6}{1,64} = \frac{29,52}{1,64} = 18$.
   • Portanto, o desvio padrão populacional é $\sigma = 18$. (A escolha de $Z_{0,05}=1,64$ se encaixa perfeitamente com os dados fornecidos, o que sugere que a banca arredondou o valor crítico para baixo).

2. Calcular a amplitude do segundo intervalo de confiança:

   • Tamanho da amostra ($n_2$): 144
   • Desvio padrão populacional ($\sigma$): 18 (calculado acima)
   • Nível de Confiança: 96%
   • Para um nível de confiança de 96%, $\alpha = 1 - 0,96 = 0,04$, então $\alpha/2 = 0,02$.
   • Precisamos encontrar o valor de $Z_{0,02}$ tal que $P(Z \le Z_{0,02}) = 1 - 0,02 = 0,98$.
   • Consultando a tabela: $P(Z \le 2,05) = 0,9798$ e $P(Z \le 2,06) = 0,9803$.
   • Se usarmos $Z_{0,02} = 2,05$, a margem de erro seria $E_2 = 2,05 \times \frac{18}{\sqrt{144}} = 2,05 \times \frac{18}{12} = 2,05 \times 1,5 = 3,075$. A amplitude seria $2 \times 3,075 = 6,15$.
   • No entanto, para que a resposta seja 6,00 (alternativa A), a margem de erro $E_2$ deve ser 3,00.
   • Se $E_2 = 3,00$, então $3,00 = Z_{0,02} \times \frac{18}{12} \Rightarrow 3,00 = Z_{0,02} \times 1,5 \Rightarrow Z_{0,02} = \frac{3,00}{1,5} = 2,00$.
   • Pegadinha da banca: A tabela fornecida mostra que $P(Z \le 2,00) = 0,9772$, o que corresponde a um nível de confiança de $2 \times (0,9772 - 0,5) = 95,44\%$, e não 96%. Contudo, para chegar ao gabarito, é necessário utilizar $Z_{0,02} = 2,00$. É comum em questões de prova que valores críticos sejam arredondados ou simplificados, e o aluno deve inferir qual valor foi utilizado para chegar à resposta esperada.
   • Assumindo $Z_{0,02} = 2,00$:
     • Margem de erro $E_2 = 2,00 \times \frac{18}{\sqrt{144}} = 2,00 \times \frac{18}{12} = 2,00 \times 1,5 = 3,00$.
     • A amplitude do segundo intervalo é $2 \times E_2 = 2 \times 3,00 = 6,00$.

• Conceito-chave: Um intervalo de confiança é uma estimativa de um parâmetro populacional (como a média $\mu$) que consiste em uma faixa de valores, calculada a partir de dados de uma amostra, e que tem uma certa probabilidade (nível de confiança) de conter o verdadeiro valor do parâmetro.

• (A) Correta: A amplitude do segundo intervalo é 6,00. Para chegar a este valor, primeiro calculamos o desvio padrão populacional ($\sigma$) a partir do primeiro intervalo. A margem de erro do primeiro intervalo é $E_1 = 84,92 - 80 = 4,92$. Para 90% de confiança, $Z_{0,05} = 1,64$ (inferido para que a conta feche perfeitamente com os dados dados: $4,92 = 1,64 \times \sigma/\sqrt{36} \Rightarrow \sigma = 18$). Para o segundo intervalo, com $n_2=144$ e 96% de confiança, a margem de erro $E_2 = Z_{0,02} \times \sigma/\sqrt{n_2} = Z_{0,02} \times 18/\sqrt{144} = Z_{0,02} \times 18/12 = Z_{0,02} \times 1,5$. Para que a amplitude seja 6,00, $E_2$ deve ser 3,00. Isso implica que $Z_{0,02} = 3,00/1,5 = 2,00$. Embora a tabela fornecida mostre que $P(Z \le 2,00) = 0,9772$ (o que corresponde a um nível de confiança de 95,44%, e não 96%), a questão exige o uso de $Z=2,00$ para 96% de confiança para obter a resposta correta.

• (B) Incorreta: 4,92 é a margem de erro do primeiro intervalo de confiança, não a amplitude do segundo. É um distrator comum.

• (C) Incorreta: 9,84 é a amplitude do primeiro intervalo de confiança ($2 \times 4,92$), não a amplitude do segundo. É outro distrator comum.

• (D) Incorreta: Se a amplitude fosse 3,84, a margem de erro seria 1,92. Isso implicaria um $Z_{0,02} = 1,92/1,5 = 1,28$, que não corresponde a 96% de confiança.

• (E) Incorreta: Se a amplitude fosse 12,00, a margem de erro seria 6,00. Isso implicaria um $Z_{0,02} = 6,00/1,5 = 4,00$, que é um valor de Z muito alto e não corresponde a 96% de confiança.