Questão de Estatística · FCC TRT4 2022 (nº 47)

O Teorema de Tchebichev nos dá uma probabilidade mínima de que uma variável aleatória (um número que pode assumir diferentes valores com certas probabilidades) esteja dentro de um certo intervalo, mesmo sem conhecer a forma exata de sua distribuição. Ele usa a média (o valor central esperado) e a variância (uma medida de quão espalhados os dados estão em relação à média) para fazer isso, através da fórmula $P(\mu - k\sigma < X < \mu + k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2}$, onde $\mu$ é a média, $\sigma$ é o desvio padrão e $k$ é o número de desvios padrão.

Resolução:

1. O intervalo dado é $(20, 30)$ e a média ($\mu$) é $25. Percebemos que o intervalo é simétrico em relação à média: \25 - 5 = 20 e \25 + 5 = 30. Isso significa que a distância da média aos limites do intervalo é \5$. Pelo teorema, essa distância é$k\sigma$. Então,$k\sigma = 5$.
2. A probabilidade mínima dada é $75\%$, ou $0,75$. Usando a fórmula do Teorema de Tchebichev:$1 - \frac{1}{k^2} = 0,75$$\frac{1}{k^2} = 1 - 0,75$$\frac{1}{k^2} = 0,25$$k^2 = \frac{1}{0,25}$$k^2 = 4$$k = \sqrt{4} = 2$(pois$k$ deve ser positivo).
3. Agora que temos $k=2$ e sabemos que $k\sigma = 5$, podemos encontrar o desvio padrão ($\sigma$):
   $2\sigma = 5$
   $\sigma = \frac{5}{2}$
   $\sigma = 2,5$.
4. A questão pede a variância, que é o quadrado do desvio padrão ($\sigma^2$):
   $\sigma^2 = (2,5)^2 = 6,25$.

Comentário das alternativas:

(A) Incorreta: Se a variância fosse 4, o desvio padrão seria 2. Com $\sigma=2$, teríamos $k\sigma = 2k = 5$, resultando em $k=2,5$. A probabilidade mínima seria $1 - 1/(2,5)^2 = 1 - 1/6,25 = 1 - 0,16 = 0,84$ (84%), não 75%. Armadilha: O valor $k^2=4$ é encontrado na resolução, mas ele não é a variância; ele é o quadrado do número de desvios padrão. O aluno pode confundir $k^2$ com $\sigma^2$.
(B) Incorreta: Se a variância fosse 2,25, o desvio padrão seria 1,5. Com $\sigma=1,5$, teríamos $k\sigma = 1,5k = 5$, resultando em $k \approx 3,33$. A probabilidade mínima seria $1 - 1/(3,33)^2 \approx 0,91$ (91%), não 75%.
(C) Incorreta: Se a variância fosse 1,44, o desvio padrão seria 1,2. Com $\sigma=1,2$, teríamos $k\sigma = 1,2k = 5$, resultando em $k \approx 4,17$. A probabilidade mínima seria $1 - 1/(4,17)^2 \approx 0,94$ (94%), não 75%.
(D) Correta: Conforme a resolução, a variância é 6,25. Com $\sigma^2 = 6,25$, temos $\sigma = 2,5$. Usando $k\sigma = 5$, encontramos $k(2,5) = 5 \Rightarrow k=2$. A probabilidade mínima é $1 - 1/k^2 = 1 - 1/2^2 = 1 - 1/4 = 0,75$, que corresponde a 75%.
(E) Incorreta: Se a variância fosse 2,56, o desvio padrão seria 1,6. Com $\sigma=1,6$, teríamos $k\sigma = 1,6k = 5$, resultando em $k \approx 3,125$. A probabilidade mínima seria $1 - 1/(3,125)^2 \approx 0,90$ (90%), não 75%.