Questão de Estatística · FCC TRT4 2022 (nº 35)

A distribuição binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (como escolher 3 estudantes), cada uma com apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso), e a probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa.

Primeiro, vamos determinar as probabilidades de cada preferência:

• P(Prefere Pessoa 1) = 1/2
• P(Prefere Pessoa 2) = 1/3
• P(Indiferente) = 1 - (1/2 + 1/3) = 1 - (3/6 + 2/6) = 1 - 5/6 = 1/6

A questão pede a probabilidade de que um estudante não seja indiferente. Isso significa que ele prefere a Pessoa 1 OU a Pessoa 2.

• P(Não Indiferente) = P(Prefere Pessoa 1) + P(Prefere Pessoa 2) = 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
  Chamaremos essa probabilidade de sucesso de $p = 5/6$. A probabilidade de fracasso (ser indiferente) é $1-p = 1/6$. Estamos escolhendo 3 estudantes ($n=3$). Queremos a probabilidade de que **pelo menos 2** deles não sejam indiferentes. Isso significa que 2 ou 3 estudantes não são indiferentes. Usamos a fórmula da distribuição binomial:$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.

1. Probabilidade de 2 estudantes não serem indiferentes ($X=2$):
   P(X=2) = \binom{3}{2} (5/6)^2 (1/6)^{3-2} = 3 \times (25/36) \times (1/6) = 75/216\

2. Probabilidade de 3 estudantes não serem indiferentes ($X=3$):
   $P(X=3) = \binom{3}{3} (5/6)^3 (1/6)^{3-3} = 1 \times (125/216) \times 1 = 125/216$

A probabilidade de que pelo menos 2 deles não sejam indiferentes é a soma dessas probabilidades:
$P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) = 75/216 + 125/216 = 200/216$
Simplificando a fração, dividindo o numerador e o denominador por 8:
$200 \div 8 = 25$
$216 \div 8 = 27$
Portanto, a probabilidade é $25/27$.

(A) Correta: A probabilidade de que pelo menos 2 estudantes não sejam indiferentes é $25/27, conforme calculado pela soma das probabilidades de 2 e 3 sucessos na distribuição binomial. **(B) Incorreta:** Esta alternativa não corresponde aos cálculos corretos da distribuição binomial para o cenário apresentado. **(C) Incorreta:** Esta é uma armadilha comum. Se a probabilidade de "não indiferente" fosse \1/2$e a pergunta fosse "pelo menos 1 não indiferente", a resposta seria$1 - (1/2)^3 = 7/8. No entanto, a probabilidade de "não indiferente" é \5/6 e a pergunta é "pelo menos 2". **(D) Incorreta:** Esta alternativa é muito próxima da correta (\201/216 vs \200/216), indicando que poderia ser resultado de um pequeno erro aritmético na soma das probabilidades ou na simplificação. Por exemplo, se na soma \75+125 houvesse um erro de 1 unidade, resultaria em \201/216$.
(E) Incorreta: Esta alternativa não corresponde aos cálculos corretos da distribuição binomial para o cenário apresentado.