Questão de Estatística · FCC TRT4 2022 (nº 44)

O Teorema Central do Limite (TCL) nos diz que, para amostras grandes o suficiente, a distribuição das médias amostrais ($\bar{x}$) de qualquer população (com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma$) se aproxima de uma distribuição normal, independentemente da forma da distribuição original da população. Além disso, a média dessa distribuição de médias amostrais será a própria média populacional ($\mu$), e seu desvio padrão (chamado de erro padrão da média) será $\sigma / \sqrt{n}$, onde $n$ é o tamanho da amostra.

Para resolver a questão:

1. A variável aleatória $X$ tem distribuição normal com média $\mu$ e variância $\sigma^2 = 100$. Portanto, o desvio padrão populacional é $\sigma = \sqrt{100} = 10$.
2. A média amostral $\bar{x}$ segue uma distribuição normal com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma_{\bar{x}} = \sigma / \sqrt{n} = 10 / \sqrt{n}$.
3. A probabilidade dada é $P(|\bar{x} - \mu| \leq 0,656) = 90\%$. Isso pode ser reescrito como $P(-0,656 \leq \bar{x} - \mu \leq 0,656) = 0,90$.
4. Para usar a tabela da distribuição normal padrão (Z), precisamos padronizar a variável: $Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}}$.
   Então, a desigualdade se torna $P\left(\frac{-0,656}{10/\sqrt{n}} \leq \frac{\bar{x} - \mu}{10/\sqrt{n}} \leq \frac{0,656}{10/\sqrt{n}}\right) = 0,90$.
   Isso é $P\left(-k \leq Z \leq k\right) = 0,90$, onde $k = \frac{0,656}{10/\sqrt{n}} = \frac{0,656\sqrt{n}}{10}$.
5. Para uma distribuição normal padrão, $P(-k \leq Z \leq k) = 2P(Z \leq k) - 1$.
   Então, $2P(Z \leq k) - 1 = 0,90 \implies 2P(Z \leq k) = 1,90 \implies P(Z \leq k) = 0,95$.
6. Consultando a tabela fornecida para $P(Z \leq k) = 0,95$:
   Observamos que $P(Z \leq 1,64) = 0,9495$ e $P(Z \leq 1,65) = 0,9505$. Para 0,95, o valor de $k$ estaria entre 1,64 e 1,65 (aproximadamente 1,645). No entanto, se usarmos $k=1,64$, a conta se ajusta perfeitamente às alternativas. A banca frequentemente usa o valor mais próximo ou um que simplifique o cálculo.
   Vamos usar $k = 1,64$.
7. Agora, igualamos o valor de $k$ encontrado com a expressão de $k$:
   $1,64 = \frac{0,656\sqrt{n}}{10}$
   Multiplicando ambos os lados por 10:
   $16,4 = 0,656\sqrt{n}$
   Dividindo por 0,656:
   $\sqrt{n} = \frac{16,4}{0,656}$
   \sqrt{n} = 25\
8. Elevando ao quadrado para encontrar $n$:
   $n = 25^2 = 625$.

• (A) Incorreta: Resultaria de um valor de $k$ maior (aproximadamente 1,7056) ou erro de cálculo.
• (B) Incorreta: Resultaria de um valor de $k$ menor (aproximadamente 1,5744) ou erro de cálculo.
• (C) Incorreta: Resultaria de um valor de $k$ menor (aproximadamente 1,312) ou erro de cálculo.
• (D) Correta: O cálculo utilizando o valor de $k=1,64$ (que corresponde a $P(Z \le 1,64) = 0,9495$, o mais próximo de 0,95 que leva a um resultado exato entre as opções) leva a $n=625$. A armadilha aqui seria tentar usar $k=1,645$ e obter um resultado não exato, ou arredondar incorretamente.
• (E) Incorreta: Resultaria de um valor de $k$ muito menor (aproximadamente 1,0496) ou erro de cálculo.