Questão de Estatística · FCC TRT4 2022 (nº 43)

A Distribuição Normal é um modelo matemático que descreve como os dados se espalham em torno de um valor central, sendo simétrica e em forma de sino. A Distribuição Normal Padrão (ou Z) é uma versão especial dessa distribuição com média zero e desvio padrão um, usada para comparar e calcular probabilidades de qualquer distribuição normal através de uma tabela.

Para resolver a questão, precisamos encontrar a média ($\mu$) e o desvio padrão ($\sigma$) da distribuição dos salários.

1. Primeira informação: "30% dos empregados ganham mais que 6,86 salários mínimos".
   Isso significa $P(X > 6.86) = 0.30$.
   Como a área total sob a curva é 1, $P(X \le 6.86) = 1 - 0.30 = 0.70$.
   Consultando a tabela Z para $P(Z \le z) = 0.70$, o valor mais próximo é $P(Z \le 0.52) = 0.6985$.
   Então, $Z_1 = 0.52$.
   Usando a fórmula de padronização $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$:
   $0.52 = \frac{6.86 - \mu}{\sigma}$ (Equação 1)

2. Segunda informação: "16% dos empregados ganham pelo menos 5 salários mínimos e no máximo o valor médio de todos os salários da empresa".
   Isso significa $P(5 \le X \le \mu) = 0.16$.
   Sabemos que $P(X \le \mu) = 0.50$ (pois a média divide a distribuição normal em duas metades iguais).
   Então, $P(X \le \mu) - P(X < 5) = 0.16$.
   $0.50 - P(X < 5) = 0.16 \Rightarrow P(X < 5) = 0.50 - 0.16 = 0.34$.
   Para encontrar o Z-score correspondente a $P(Z \le z) = 0.34$, como 0.34 é menor que 0.50, o Z será negativo. Procuramos na tabela o valor de Z para $P(Z \le |z|) = 1 - 0.34 = 0.66$.
   Consultando a tabela Z para $P(Z \le z) = 0.66$, o valor mais próximo é $P(Z \le 0.41) = 0.6591$.
   Então, $Z_2 = -0.41$.
   Usando a fórmula de padronização:
   $-0.41 = \frac{5 - \mu}{\sigma}$ (Equação 2)

3. Resolvendo o sistema de equações:
   Da Equação 1: $\mu = 6.86 - 0.52\sigma$
   Da Equação 2: $\mu = 5 + 0.41\sigma$
   Igualando as expressões para $\mu$:
   $6.86 - 0.52\sigma = 5 + 0.41\sigma$
   $6.86 - 5 = 0.41\sigma + 0.52\sigma$
   $1.86 = 0.93\sigma$
   $\sigma = \frac{1.86}{0.93} = 2$
   Substituindo $\sigma = 2$ em $\mu = 5 + 0.41\sigma$:
   $\mu = 5 + 0.41(2) = 5 + 0.82 = 5.82$
   Portanto, a média dos salários é 5.82 salários mínimos e o desvio padrão é 2 salários mínimos.

4. Encontrando o valor final: "14% dos empregados ganham, em salários mínimos, menos que..."
   Precisamos encontrar o valor $x$ tal que $P(X < x) = 0.14$.
   Para encontrar o Z-score correspondente a $P(Z \le z) = 0.14$, como 0.14 é menor que 0.50, o Z será negativo. Procuramos na tabela o valor de Z para $P(Z \le |z|) = 1 - 0.14 = 0.86$.
   Consultando a tabela Z para $P(Z \le z) = 0.86$, o valor mais próximo é $P(Z \le 1.08) = 0.8599$.
   Então, $Z_3 = -1.08$.
   Usando a fórmula de padronização com os valores de $\mu$ e $\sigma$ encontrados:
   $-1.08 = \frac{x - 5.82}{2}$
   $-1.08 \times 2 = x - 5.82$
   $-2.16 = x - 5.82$
   $x = 5.82 - 2.16$
   $x = 3.66$

• (A) Incorreta: Este valor seria obtido com diferentes arredondamentos ou erros de cálculo.
• (B) Incorreta: Este valor seria obtido com diferentes arredondamentos ou erros de cálculo.
• (C) Correta: O valor de 3.66 salários mínimos é obtido ao calcular a média ($\mu = 5.82$) e o desvio padrão ($\sigma = 2$) a partir das informações fornecidas e, em seguida, determinar o salário correspondente a um Z-score de -1.08 para a probabilidade de 14%.
• (D) Incorreta: Este valor seria obtido com diferentes arredondamentos ou erros de cálculo.
• (E) Incorreta: Este valor seria obtido com diferentes arredondamentos ou erros de cálculo.