Questão de Estatística · FCC TRT4 2022 (nº 37)

A probabilidade condicional é a chance de um evento ocorrer dado que outro já aconteceu. O Teorema de Bayes nos permite calcular essa probabilidade condicional "invertida", usando a probabilidade de um evento e a probabilidade de evidências sob diferentes condições.

Dados do problema:

• $P(Alfa) = 0.25$
• $P(Beta) = 0.35$
• $P(Gama) = 1 - 0.25 - 0.35 = 0.40$
• $P(Mestrado|Alfa) = 0.20$
• $P(Mestrado|Beta) = 0.40$
• $P(Mestrado|Gama) = X/100$
• $P(Gama|Mestrado) = 0.24$

Pela Lei da Probabilidade Total, a probabilidade de um funcionário ter mestrado é:
$P(Mestrado) = P(Mestrado|Alfa)P(Alfa) + P(Mestrado|Beta)P(Beta) + P(Mestrado|Gama)P(Gama)$
$P(Mestrado) = (0.20 \times 0.25) + (0.40 \times 0.35) + ((X/100) \times 0.40)$
$P(Mestrado) = 0.05 + 0.14 + 0.004X$
$P(Mestrado) = 0.19 + 0.004X$

Pelo Teorema de Bayes:
$P(Gama|Mestrado) = \frac{P(Mestrado|Gama) \times P(Gama)}{P(Mestrado)}$
Substituindo os valores conhecidos:
$0.24 = \frac{(X/100) \times 0.40}{0.19 + 0.004X}$
$0.24 = \frac{0.004X}{0.19 + 0.004X}$
$0.24 \times (0.19 + 0.004X) = 0.004X$
$0.0456 + 0.00096X = 0.004X$
$0.0456 = 0.004X - 0.00096X$
$0.0456 = 0.00304X$
$X = \frac{0.0456}{0.00304}$
$X = 15$

(A) Incorreta: Se X fosse 30, a probabilidade $P(Gama|Mestrado)$ seria aproximadamente 38.7%, diferente dos 24% dados.
(B) Incorreta: Se X fosse 20, a probabilidade $P(Gama|Mestrado)$ seria aproximadamente 29.6%, diferente dos 24% dados.
(C) Correta: O valor de X é 15, que é obtido aplicando corretamente o Teorema de Bayes e a Lei da Probabilidade Total com os dados fornecidos.
(D) Incorreta: Se X fosse 25, a probabilidade $P(Gama|Mestrado)$ seria aproximadamente 34.5%, diferente dos 24% dados.
(E) Incorreta: Se X fosse 10, a probabilidade $P(Gama|Mestrado)$ seria aproximadamente 17.4%, diferente dos 24% dados. A armadilha aqui seria confundir $P(Gama|Mestrado)$ com $P(Mestrado|Gama)$ e tentar usar o valor de 24% diretamente como X, sem aplicar o teorema.