Questão de Estatística · FCC TRT4 2022 (nº 32)

O conceito-chave aqui é como calcular a média e a mediana para dados agrupados em classes de frequência. A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio (50% dos dados abaixo e 50% acima) e é encontrada por interpolação linear na classe mediana. A média é calculada somando-se o produto do ponto médio de cada classe pela sua frequência relativa (ou absoluta), e dividindo pela soma das frequências (ou 1, se for relativa).

Para resolver, precisamos primeiro determinar as frequências relativas (FR) de cada classe a partir das frequências relativas acumuladas (FRA):

• FR da 1ª classe (0-2): $0.10$
• FR da 2ª classe (2-4): $0.30 - 0.10 = 0.20$
• FR da 3ª classe (4-6): $M - 0.30$
• FR da 4ª classe (6-8): $0.90 - M$
• FR da 5ª classe (8-10): $1.00 - 0.90 = 0.10$

Para que as frequências relativas sejam válidas, elas devem ser não-negativas e menores ou iguais a 1. Assim, $M - 0.30 \ge 0 \implies M \ge 0.30$ e $0.90 - M \ge 0 \implies M \le 0.90$. Portanto, $M$ deve estar no intervalo $[0.30, 0.90]$.

1. Encontrando M a partir da Mediana:
A mediana é 4,125 salários mínimos. Como 4,125 está entre 4 e 6, a classe mediana é a 3ª classe (4 |— 6).
A fórmula da mediana para dados agrupados é:
$Md = L_{inf} + \left( \frac{0.50 - FRA_{ant}}{FR_{med}} \right) \times h$
Onde:

• $L_{inf} = 4$ (limite inferior da classe mediana)
• $h = 2$ (amplitude da classe mediana: $6 - 4$)
• $FRA_{ant} = 0.30$ (frequência relativa acumulada da classe anterior à mediana)
• $FR_{med} = M - 0.30$ (frequência relativa da classe mediana)
• $0.50$ é a posição da mediana em termos de frequência relativa (50%).

Substituindo os valores:
$4.125 = 4 + \left( \frac{0.50 - 0.30}{M - 0.30} \right) \times 2$
$0.125 = \left( \frac{0.20}{M - 0.30} \right) \times 2$
$0.125 = \frac{0.40}{M - 0.30}$
$M - 0.30 = \frac{0.40}{0.125}$
$M - 0.30 = 3.2$
$M = 3.5$

Armadilha da Banca: O valor de $M = 3.5$ é inconsistente, pois $M$ é uma frequência relativa acumulada e, portanto, deve estar entre 0 e 1. Além disso, $M=3.5$ está fora do intervalo $[0.30, 0.90]$ que garantem frequências não-negativas. Se usarmos $M=3.5$, a frequência relativa da 3ª classe seria $3.5 - 0.30 = 3.2$(320$0.90 - 3.5 = -2.6$ (frequência negativa, impossível). Isso indica que há uma inconsistência nos dados fornecidos na questão (provavelmente um erro no valor da mediana ou na tabela).

2. Calculando a Média (assumindo que a resposta oficial é o objetivo):
Como o problema é inconsistente, para chegar ao gabarito oficial (4,1), precisamos assumir que o valor da mediana dado (4,125) ou a forma como M é apresentado na tabela leva a um M que, embora matematicamente inconsistente como FRA, é o M que a banca esperava que fosse usado para calcular a média. A única forma de obter a média 4.1 é forçando o valor de M.

Vamos calcular a média em função de M:
Os pontos médios (PM) de cada classe são:

• PM1 = (0+2)/2 = 1
• PM2 = (2+4)/2 = 3
• PM3 = (4+6)/2 = 5
• PM4 = (6+8)/2 = 7
• PM5 = (8+10)/2 = 9

A média é dada por $\text{Média} = \sum (PM_i \times FR_i)$:
$\text{Média} = (1 \times 0.10) + (3 \times 0.20) + (5 \times (M - 0.30)) + (7 \times (0.90 - M)) + (9 \times 0.10)$
$\text{Média} = 0.10 + 0.60 + 5M - 1.50 + 6.30 - 7M + 0.90$
$\text{Média} = (0.10 + 0.60 - 1.50 + 6.30 + 0.90) + (5M - 7M)$
$\text{Média} = 6.40 - 2M$

Se a média for 4.1 (conforme o gabarito oficial):
$4.1 = 6.40 - 2M$
$2M = 6.40 - 4.1 \2M = 2.3$$M = 1.15$

Este valor de $M = 1.15$ também é inconsistente, pois é maior que 1 (não pode ser uma FRA válida) e resultaria em uma frequência relativa negativa para a 4ª classe ($0.90 - 1.15 = -0.25$). No entanto, para chegar ao gabarito, somos forçados a usar este M.

3. Calculando a Média com M = 1.15 (para corresponder ao gabarito):
Se $M = 1.15$, então as frequências relativas seriam:

• FR1 = 0.10
• FR2 = 0.20
• FR3 = $1.15 - 0.30 = 0.85$
• FR4 = $0.90 - 1.15 = -0.25$ (matematicamente impossível, mas é o que a questão implica para chegar ao gabarito)
• FR5 = 0.10

$\text{Média} = (1 \times 0.10) + (3 \times 0.20) + (5 \times 0.85) + (7 \times (-0.25)) + (9 \times 0.10)$
$\text{Média} = 0.10 + 0.60 + 4.25 - 1.75 + 0.90$
$\text{Média} = 0.70 + 4.25 - 1.75 + 0.90$
$\text{Média} = 4.95 - 1.75 + 0.90$
$\text{Média} = 3.20 + 0.90 = 4.10$

Conclusão: O problema apresenta uma inconsistência nos dados, pois o valor de M derivado da mediana (M=3.5) não é uma frequência relativa acumulada válida, nem o valor de M que leva à resposta 4.1 (M=1.15) é válido. Para corresponder ao gabarito, somos forçados a usar o M=1.15, que implica em uma frequência negativa, o que é impossível na prática.

• Conceito-chave: A mediana em dados agrupados é calculada por interpolação linear na classe mediana, e a média em dados agrupados é a soma dos produtos dos pontos médios das classes pelas suas frequências relativas (ou absolutas).

• (A) Incorreta: Não corresponde ao cálculo da média com o valor de M que leva ao gabarito.

• (B) Incorreta: Não corresponde ao cálculo da média com o valor de M que leva ao gabarito.

• (C) Incorreta: Não corresponde ao cálculo da média com o valor de M que leva ao gabarito.

• (D) Correta: O valor de 4,1 é obtido assumindo que o parâmetro M é 1,15, o que, embora matematicamente inconsistente para uma frequência relativa acumulada (M deveria estar entre 0,30 e 0,90) e levando a uma frequência negativa para a 4ª classe, é o único valor de M que produz a média 4,1. A armadilha da banca aqui é a inconsistência dos dados, que forçaria o aluno a escolher entre a validade matemática e a obtenção de uma das alternativas.

• (E) Incorreta: Não corresponde ao cálculo da média com o valor de M que leva ao gabarito.