Questão de Estatística · FCC TRT4 2022 (nº 36)

A Distribuição Multinomial calcula a probabilidade de obter um número específico de sucessos para cada uma de várias categorias, em um número fixo de tentativas independentes, onde cada tentativa tem múltiplas saídas possíveis com probabilidades constantes.

• Probabilidades dos partidos:

  • Partido A: $P(A) = 2/5 = 0.4$
  • Partido B: $P(B) = 20\% = 0.2$
  • Partido C: $P(C) = 1 - P(A) - P(B) = 1 - 0.4 - 0.2 = 0.4$

• Número de eleitores selecionados (n): 4

• Resultados desejados:

  • $k_A = 1$ (1 eleitor do partido A)
  • $k_B = 2$ (2 eleitores do partido B)
  • $k_C = 1$ (1 eleitor do partido C)

• Fórmula da Distribuição Multinomial:
  $P(k_A, k_B, k_C) = \frac{n!}{k_A! k_B! k_C!} \cdot P(A)^{k_A} \cdot P(B)^{k_B} \cdot P(C)^{k_C}$

• Cálculo:

  1. Coeficiente multinomial: \frac{4!}{1! 2! 1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(1) \times (2 \times 1) \times (1)} = \frac{24}{2} = 12\
  2. Probabilidades elevadas aos respectivos expoentes:
     • $P(A)^{k_A} = (0.4)^1 = 0.4$
     • $P(B)^{k_B} = (0.2)^2 = 0.04$
     • P(C)^{k_C} = (0.4)^1 = 0.4\
  3. Multiplicando tudo: $12 \times 0.4 \times 0.04 \times 0.4 = 12 \times 0.0064 = 0.0768$

• Convertendo para porcentagem: $0.0768 \times 100\% = 7.68\%$

• (A) Incorreta: Este valor pode ser obtido por um erro no cálculo do coeficiente multinomial, por exemplo, se fosse 4 em vez de 12 ($4 \times 0.4 \times 0.04 \times 0.4 = 0.0256$).

• (B) Incorreta: Um erro comum seria usar uma probabilidade incorreta para o partido C, ou um erro no coeficiente multinomial. Por exemplo, se o coeficiente fosse 6 e $P(C)$ fosse 0.2, daria $6 \times 0.4 \times 0.04 \times 0.2 = 0.0192 = 1.92\%$.

• (C) Incorreta: Resultado de cálculos com probabilidades ou coeficientes muito diferentes dos corretos.

• (D) Incorreta: Armadilha: O distrator mais tentador. Este resultado (3,84%) seria obtido se a probabilidade do partido C fosse calculada incorretamente como 20% (0.2) em vez de 40% (0.4). Ou seja, $12 \times 0.4 \times (0.2)^2 \times 0.2 = 12 \times 0.4 \times 0.04 \times 0.2 = 0.0384$. É crucial calcular corretamente a probabilidade do "restante".

• (E) Correta: A probabilidade é calculada pela fórmula da distribuição multinomial: $\frac{4!}{1!2!1!} \times (0.4)^1 \times (0.2)^2 \times (0.4)^1 = 12 \times 0.4 \times 0.04 \times 0.4 = 12 \times 0.0064 = 0.0768$, que corresponde a 7,68%.