Questão de Estatística · FCC TRT4 2022 (nº 38)

A Distribuição Geométrica descreve a probabilidade de que a primeira ocorrência de um evento (sucesso) aconteça em uma determinada prova, em uma sequência de tentativas independentes, onde a probabilidade de sucesso ($p$) é constante em cada tentativa.

• (A) Correta: Para a variável aleatória $X$ que segue uma distribuição geométrica com probabilidade de sucesso $p$, a probabilidade de o evento ocorrer pela primeira vez na $k$-ésima prova é $P(X=k) = (1-p)^{k-1}p$.
  Dado que $P(X=2) = 2/9$, temos $(1-p)^{2-1}p = (1-p)p = 2/9$.
  Isso leva à equação quadrática $9p - 9p^2 = 2$, ou $9p^2 - 9p + 2 = 0$.
  Resolvendo para $p$: $p = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(9)(2)}}{2(9)} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 72}}{18} = \frac{9 \pm \sqrt{9}}{18} = \frac{9 \pm 3}{18}$.
  As duas soluções são $p_1 = \frac{9+3}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ e $p_2 = \frac{9-3}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.
  O problema especifica que $p > 0,5$. Portanto, escolhemos $p = 2/3$ (pois $2/3 \approx 0,667 > 0,5$), descartando $p=1/3$.
  A variância de uma distribuição geométrica é dada por $Var(X) = \frac{1-p}{p^2}$.
  Substituindo $p=2/3$: $Var(X) = \frac{1 - (2/3)}{(2/3)^2} = \frac{1/3}{4/9} = \frac{1}{3} \times \frac{9}{4} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.
• (B) Incorreta: Esta alternativa, $9/2, pode ser um distrator para quem confunde a fórmula da variância ou comete erros de cálculo. Por exemplo, se alguém calculasse \1/(p(1-p)), obteria \1/((2/3)(1/3)) = 1/(2/9) = 9/2$. Armadilha da banca: Confundir a variância da distribuição geométrica com outras fórmulas ou fazer inversões incorretas é um erro comum.
• (C) Incorreta: Esta alternativa, $3/2$, corresponde ao valor esperado (média) da distribuição geométrica,$E[X] = 1/p$. Com$p=2/3$,$E[X] = 1/(2/3) = 3/2$. É um distrator comum, pois muitos alunos confundem as fórmulas de esperança e variância.
• (D) Incorreta: Não há uma derivação direta para $5/2$a partir das fórmulas da distribuição geométrica com$p=2/3$.
• (E) Incorreta: Esta alternativa, $9/4$, seria obtida se a fórmula da variância fosse$1/p^2$, esquecendo o termo$(1-p)$no numerador. Com$p=2/3$,$1/(2/3)^2 = 1/(4/9) = 9/4$.