Questão de Estatística · FCC TRT4 2022 (nº 42)

A função geradora de momentos (FGM) é uma ferramenta estatística que nos permite encontrar a esperança (média) e a variância de uma variável aleatória sem precisar calcular integrais complexas. A esperança é a primeira derivada da FGM avaliada em zero, e a esperança do quadrado é a segunda derivada da FGM avaliada em zero; a variância é então calculada a partir dessas duas.

Para a distribuição Gama com $M(t) = (1 - \beta t)^{-\alpha}$:

1. Esperança (E[X]): É a primeira derivada de $M(t)$ avaliada em $t=0$.
   $M'(t) = \frac{d}{dt} (1 - \beta t)^{-\alpha} = -\alpha (1 - \beta t)^{-\alpha-1} (-\beta) = \alpha\beta (1 - \beta t)^{-\alpha-1}$
   E[X] = M'(0) = \alpha\beta (1 - \beta \cdot 0)^{-\alpha-1} = \alpha\beta\
2. Esperança do quadrado (E[X²]): É a segunda derivada de $M(t)$ avaliada em $t=0$.
   $M''(t) = \frac{d}{dt} [\alpha\beta (1 - \beta t)^{-\alpha-1}] = \alpha\beta (-\alpha-1) (1 - \beta t)^{-\alpha-2} (-\beta) = \alpha\beta^2(\alpha+1) (1 - \beta t)^{-\alpha-2}$
   E[X^2] = M''(0) = \alpha\beta^2(\alpha+1) (1 - \beta \cdot 0)^{-\alpha-2} = \alpha\beta^2(\alpha+1)\
3. Variância (Var[X]): É calculada como $Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2$.
   Var[X] = \alpha\beta^2(\alpha+1) - (\alpha\beta)^2 = \alpha^2\beta^2 + \alpha\beta^2 - \alpha^2\beta^2 = \alpha\beta^2\
4. Módulo da diferença entre o quadrado da esperança e a variância:
   A questão pede $|(E[X])^2 - Var[X]|$.
   $(E[X])^2 = (\alpha\beta)^2 = \alpha^2\beta^2$
   Então, $(E[X])^2 - Var[X] = \alpha^2\beta^2 - \alpha\beta^2 = \alpha\beta^2(\alpha - 1)$
   O módulo é $|\alpha\beta^2(\alpha - 1)|$.

(A) Incorreta: Esta alternativa representa o quadrado da esperança $(E[X])^2$, e não a diferença pedida.
(B) Incorreta: Esta alternativa representa a variância $Var[X]$, e não a diferença pedida. Esta é uma armadilha comum, pois o aluno pode calcular a variância corretamente e confundi-la com a resposta final, esquecendo que a questão pede a diferença entre o quadrado da esperança e a variância.
(C) Incorreta: Esta expressão não corresponde a nenhum dos cálculos intermediários ou ao resultado final esperado.
(D) Correta: A expressão $|\alpha\beta^2(\alpha - 1)|$ é o resultado exato do cálculo do módulo da diferença entre o quadrado da esperança e a variância, conforme demonstrado acima.
(E) Incorreta: Esta expressão não corresponde a nenhum dos cálculos intermediários ou ao resultado final esperado.