Questão de Estatística · FGV TJDFT 2022 (nº 55)

Uma série temporal é estacionária se suas propriedades estatísticas (como média e variância) não mudam ao longo do tempo. Para modelos ARIMA, isso exige que as raízes do polinômio característico da parte autorregressiva (AR), quando expresso em termos do operador de retardo $B$, tenham módulo (valor absoluto) maior que 1. Similarmente, um modelo é invertível se pode ser representado como um modelo AR de ordem infinita; para isso, as raízes do polinômio característico da parte de médias móveis (MA) também devem ter módulo maior que 1.

(A) Correta: O modelo $Z_t = 0,5Z_{t-1}+\varepsilon_t$ é um AR(1). Sua forma com operador retardo é $(1 - 0,5B)Z_t = \varepsilon_t$. O polinômio característico da parte AR é $1 - 0,5B = 0$, cuja raiz é$B = 1/0,5 = 2$. Como$|2| > 1$, a condição de estacionariedade é satisfeita. Não há parte MA, então a condição de invertibilidade é trivialmente satisfeita.

(B) Incorreta: O modelo $Z_t = 0,5Z_{t-1}-1,3\varepsilon_{t-1}-0,4\varepsilon_{t-2}+\varepsilon_t$ é um ARMA(1,2). A parte AR $(1 - 0,5B)Z_t$ tem raiz $B=2$, que satisfaz a estacionariedade ($|2|>1$). No entanto, a parte MA $(1 - 1,3B - 0,4B^2)\varepsilon_t$ tem polinômio $1 - 1,3B - 0,4B^2 = 0$. As raízes desse polinômio são aproximadamente $B_1 \approx 0,64$ e $B_2 \approx -3,89$. Como $|B_1| < 1$, a condição de invertibilidade não é satisfeita. Armadilha da banca: A parte AR é estacionária, o que pode levar a um erro se a invertibilidade da parte MA não for verificada cuidadosamente.

(C) Incorreta: O modelo $Z_t = 1,5Z_{t-1}+0,6Z_{t-2}+\varepsilon_t$ é um AR(2). Sua forma com operador retardo é $(1 - 1,5B - 0,6B^2)Z_t = \varepsilon_t$. O polinômio característico da parte AR é $1 - 1,5B - 0,6B^2 = 0$. As raízes desse polinômio são aproximadamente $B_1 \approx 0,55$ e $B_2 \approx -3,05$. Como $|B_1| < 1$, a condição de estacionariedade não é satisfeita.

(D) Incorreta: O modelo $Z_t = 1,5Z_{t-1}+\varepsilon_t$ é um AR(1). Sua forma com operador retardo é $(1 - 1,5B)Z_t = \varepsilon_t$. O polinômio característico da parte AR é $1 - 1,5B = 0$, cuja raiz é$B = 1/1,5 = 2/3$. Como$|2/3| < 1$, a condição de estacionariedade não é satisfeita.

(E) Incorreta: O modelo $Z_t = 0,5Z_{t-1}-1,3\varepsilon_{t-1}+\varepsilon_t$ é um ARMA(1,1). A parte AR $(1 - 0,5B)Z_t$ tem raiz $B=2$, que satisfaz a estacionariedade ($|2|>1$). No entanto, a parte MA $(1 - 1,3B)\varepsilon_t$ tem polinômio $1 - 1,3B = 0$, cuja raiz é$B = 1/1,3 \approx 0,77$. Como$|0,77| < 1$, a condição de invertibilidade não é satisfeita.