Questão de Estatística · FGV TJDFT 2022 (nº 54)

Uma Cadeia de Markov é um modelo matemático onde a probabilidade de um evento futuro (o "próximo estado") depende apenas do estado atual, e não de como se chegou a esse estado.

• 1. Entendendo os Estados e a Matriz de Transição:

  • Estado 0: "não ocorrer ação da justiça itinerante"
  • Estado 1: "ocorrer ação da justiça itinerante"
  • A matriz de transição $P$ tem a forma $P = \begin{pmatrix} P_{00} & P_{01} \ P_{10} & P_{11} \end{pmatrix}$, onde $P_{ij}$ é a probabilidade de transitar do estado $i$ para o estado $j$. A soma das probabilidades de cada linha deve ser 1.

• 2. Analisando as Informações Fornecidas:

  • A matriz parcial dada é $P = \begin{pmatrix} \square & 0,3 \ \square & 0,6 \end{pmatrix}$. Isso significa que $P_{01} = 0,3$ e $P_{11} = 0,6$.
  • O texto diz: "se ocorrer ação da justiça itinerante hoje [estado 1], então ocorrerá amanhã [estado 1] com probabilidade 0,6". Isso confirma $P_{11} = 0,6$.
  • O texto também diz: "e se ocorrer ação da justiça itinerante hoje [estado 1], então não ocorrerá amanhã [estado 0] com probabilidade 0,3". Isso implicaria $P_{10} = 0,3$.

• 3. Resolvendo a Contradição (A Pegadinha):

  • Se $P_{11} = 0,6$ e $P_{10} = 0,3$ (conforme o texto), a soma da segunda linha seria $0,6 + 0,3 = 0,9$. Isso é uma contradição, pois a soma das probabilidades de uma linha da matriz de transição deve ser 1.
  • A informação explícita na matriz e a regra fundamental de que a soma das probabilidades de cada linha deve ser 1 prevalecem.
  • Portanto, a partir de $P_{11} = 0,6$ (dado no texto e na matriz), devemos deduzir $P_{10} = 1 - P_{11} = 1 - 0,6 = 0,4$. A informação $P_{10}=0,3$ no texto é o distrator.
  • A partir de $P_{01} = 0,3$ (dado na matriz), deduzimos $P_{00} = 1 - P_{01} = 1 - 0,3 = 0,7$.

• 4. Construindo a Matriz de Transição Completa:
  $P = \begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \ 0,4 & 0,6 \end{pmatrix}$

• 5. Calculando a Distribuição do Sistema na Etapa "Amanhã" ($\pi_1$):
  A distribuição do sistema na próxima etapa é calculada multiplicando a distribuição inicial ($\pi_0$) pela matriz de transição ($P$): $\pi_1 = \pi_0 P$.
  $\pi_0 = (0,5 \quad 0,5)$
  $\pi_1 = (0,5 \quad 0,5) \begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \ 0,4 & 0,6 \end{pmatrix}$
  $\pi_1 = ((0,5 \times 0,7) + (0,5 \times 0,4) \quad (0,5 \times 0,3) + (0,5 \times 0,6))$
  $\pi_1 = (0,35 + 0,20 \quad 0,15 + 0,30)$
  $\pi_1 = (0,55 \quad 0,45)$

• (A) Correta: A distribuição do sistema na etapa "amanhã" é $(0,55 \quad 0,45)$, obtida ao completar a matriz de transição de forma consistente com as regras de Cadeias de Markov e multiplicar pela distribuição inicial.

• (B) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se a informação contraditória do texto ($P_{10}=0,3$) fosse utilizada para preencher a matriz, resultando em uma matriz de transição inválida (a soma da segunda linha não seria 1). Essa é a principal armadilha da banca.

• (C) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da distribuição de probabilidade.

• (D) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da distribuição de probabilidade.

• (E) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da distribuição de probabilidade.