Questão de Estatística · FGV TJDFT 2022 (nº 51)

A variância de uma soma de variáveis aleatórias não é apenas a soma das variâncias individuais; ela também inclui as covariâncias entre cada par de variáveis, que medem como elas se movem juntas.

• (A) Incorreta: Um resultado de 0 para a variância de uma soma de variáveis aleatórias implicaria que a soma é uma constante, o que não é o caso aqui.
• (B) Correta: A variância de uma soma de variáveis aleatórias $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ é dada pela fórmula $\text{Var}(Y) = \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i) + 2 \sum_{i<j} \text{Cov}(X_i, X_j)$. A matriz de covariância $\Sigma$ é simétrica, e os elementos na diagonal principal são as variâncias e os elementos fora da diagonal são as covariâncias. Da matriz fornecida (considerando-a simétrica):
  $\text{Var}(X_1) = 2$, $\text{Var}(X_2) = 2$, $\text{Var}(X_3) = 3$, $\text{Var}(X_4) = 2$.
  $\text{Cov}(X_1, X_2) = 1$, $\text{Cov}(X_1, X_3) = -1$, $\text{Cov}(X_1, X_4) = 0$.
  $\text{Cov}(X_2, X_3) = -1$, $\text{Cov}(X_2, X_4) = -1$.
  $\text{Cov}(X_3, X_4) = 0$.
  Aplicando a fórmula:
  $\text{Var}(X_1+X_2+X_3+X_4) = (2+2+3+2) + 2(1) + 2(-1) + 2(0) + 2(-1) + 2(-1) + 2(0)$
  $= 9 + 2 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 = 5$.
  Alternativamente, usando a notação matricial, se $Y = \mathbf{1}^t X$ (onde $\mathbf{1}$ é um vetor de uns), então $\text{Var}(Y) = \mathbf{1}^t \Sigma \mathbf{1}$.
  A matriz de covariância completa é:
  $\Sigma = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 0 \ 1 & 2 & -1 & -1 \ -1 & -1 & 3 & 0 \ 0 & -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$
  $\text{Var}(Y) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 0 \ 1 & 2 & -1 & -1 \ -1 & -1 & 3 & 0 \ 0 & -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} = 2+1+1+1=5$.
• (C) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo correto da variância, que deve incluir todas as covariâncias com seus respectivos sinais e fatores de 2.
• (D) Incorreta: Esta seria a resposta (9) se as variáveis $X_1, X_2, X_3, X_4$ fossem independentes (ou não correlacionadas), pois nesse caso todas as covariâncias seriam zero e a variância da soma seria apenas a soma das variâncias: $2+2+3+2 = 9$. A armadilha da banca é justamente testar se o aluno lembra de incluir os termos de covariância.
• (E) Incorreta: Este valor não é obtido pelo cálculo correto da variância da soma das variáveis aleatórias.