Questão de Estatística · FGV TJDFT 2022 (nº 49)

O intervalo de predição é uma estimativa do intervalo onde uma única nova observação de Y provavelmente cairá para um dado valor de X. Ele é mais amplo que um intervalo de confiança para a média, pois considera tanto a incerteza da estimativa da média quanto a variabilidade intrínseca dos dados. A fórmula geral para o intervalo de predição é $\hat{Y}_{new} \pm t_{\alpha/2, n-2} \cdot \sqrt{s_e^2 \left(1 + \frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \bar{x})^2}{\sum(x_i - \bar{x})^2}\right)}$.

Primeiro, calculamos o valor predito $\hat{Y}_{new}$ para $x_0 = 18$:
$\hat{Y}_{new} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_0 = 5 + 1.5 \times 18 = 5 + 27 = 32$.

Em seguida, calculamos a variância residual $s_e^2$:
$s_e^2 = \frac{\text{Soma dos Quadrados dos Resíduos}}{n-2} = \frac{9}{20-2} = \frac{9}{18} = 0.5$.

A soma dos quadrados dos desvios de X, $\sum(x_i - \bar{x})^2$, pode ser obtida da variância de X:
$\sum(x_i - \bar{x})^2 = (n-1) \times \text{variância de x} = (20-1) \times 28 = 19 \times 28 = 532$.

Para um intervalo de 95% de confiança com $n-2 = 18$ graus de liberdade, o valor crítico $t_{0.025, 18} \approx 2.101$, que é arredondado para $2.10$ nas alternativas.

Agora, calculamos o termo dentro da raiz quadrada da fórmula do erro padrão de predição:
$s_e^2 \left(1 + \frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \bar{x})^2}{\sum(x_i - \bar{x})^2}\right) = 0.5 \left(1 + \frac{1}{20} + \frac{(18 - 22)^2}{532}\right)$
$= 0.5 \left(1 + 0.05 + \frac{(-4)^2}{532}\right) = 0.5 \left(1 + 0.05 + \frac{16}{532}\right)$
$= 0.5 (1 + 0.05 + 0.030075...) = 0.5 (1.080075...) \approx 0.54$.

Portanto, o intervalo de predição é $32 \pm 2.10 \cdot \sqrt{0.54}$.

• (A) Correta: O valor predito é 32, o valor t crítico para 95% de confiança e 18 graus de liberdade é 2.10, e o termo dentro da raiz quadrada, que representa a variância do erro de predição, é $s_e^2 \left(1 + \frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \bar{x})^2}{\sum(x_i - \bar{x})^2}\right) \approx 0.54$.
• (B) Incorreta: A armadilha aqui é que o termo dentro da raiz quadrada, $1.08$, corresponde a$1 + \frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \bar{x})^2}{\sum(x_i - \bar{x})^2}$, mas este valor ainda precisa ser multiplicado pela variância residual ($s_e^2 = 0.5$) para formar a variância do erro de predição.
• (C) Incorreta: O valor t crítico $2.08$está incorreto para 95$2.10$), e o termo dentro da raiz quadrada está incorreto pela mesma razão da alternativa B.
• (D) Incorreta: O valor $1.96$é o valor crítico Z para 95$n=20undefined2.10$.
• (E) Incorreta: O valor $1.96$ está incorreto (Z-valor em vez de t-valor), e o termo dentro da raiz quadrada está incorreto pela mesma razão da alternativa B.