Questão de Estatística · FGV TJDFT 2022 (nº 48)

O Teste do Sinal é um método estatístico não paramétrico que compara a mediana de uma amostra com um valor hipotético (neste caso, a mediana histórica). Ele se baseia na contagem de observações acima (sinal +) e abaixo (sinal -) da mediana hipotética, ignorando os casos de igualdade.

(A) Correta:
Primeiro, definimos as hipóteses. Como o objetivo é verificar se o novo modelo aprimora o combate (ou seja, aumenta o consumo), temos uma hipótese unilateral à direita:

• $H_0$: A mediana de consumo do novo modelo ($M$) é igual ou menor que a mediana histórica ($M_0$). ($M \le M_0$)
• $H_1$: A mediana de consumo do novo modelo ($M$) é maior que a mediana histórica ($M_0$). ($M > M_0$)

Em seguida, determinamos o tamanho da amostra efetivo. Dos 20 porta-iscas, 2 resultaram em consumo igual à mediana (pontos '.'), que são descartados no Teste do Sinal. Assim, o tamanho da amostra efetivo é $n = 20 - 2 = 18$.
Observamos 15 sinais positivos (+) e 3 sinais negativos (-).

Sob a hipótese nula ($H_0$), a probabilidade de um sinal positivo é $p=0.5$. O número de sinais positivos ($X$) segue uma distribuição binomial $B(n=18, p=0.5)$.
Para uma hipótese unilateral à direita ($H_1: M > M_0$), o p-valor é a probabilidade de observar 15 ou mais sinais positivos, ou seja, $P(X \ge 15 | n=18, p=0.5)$.
$P(X \ge 15) = P(X=15) + P(X=16) + P(X=17) + P(X=18)$
Cada termo é calculado como $\binom{18}{k} (0.5)^{18}$:

• $\binom{18}{15} = 816$
• $\binom{18}{16} = 153$
• $\binom{18}{17} = 18$
• $\binom{18}{18} = 1$
  Somando os coeficientes: $816 + 153 + 18 + 1 = 988$. O p-valor é, portanto,$988 \times (0.5)^{18}$. A tabela fornece$0.5^{18} = 0.000003814697265625$(a constante k mencionada é 1, pois os valores são os próprios$0.5^x$). p-valor$= 988 \times 0.000003814697265625 \approx 0.00376855$. Arredondando, p-valor$\approx 0.00377$.

Comparando o p-valor com o nível de significância $\alpha = 0.05$:
p-valor ($0.00377$) <$\alpha (\0.05$). Como o p-valor é menor que o nível de significância, rejeitamos a hipótese nula ($H_0$). A rejeição de$H_0: M \le M_0$implica que aceitamos$H_1: M > M_0$.
Portanto, há fortes evidências de que o novo modelo propicia uma mediana de consumo de iscas maior que a mediana histórica.

(B) Incorreta: O p-valor está correto, mas a conclusão de que "não difere estatisticamente" é errada. Como o p-valor é menor que 0.05, rejeitamos $H_0$, o que significa que há uma diferença significativa.

(C) Incorreta: O p-valor de 0.0276 está incorreto. O cálculo correto do p-valor é aproximadamente 0.00377. A armadilha aqui é apresentar um p-valor plausível, mas incorreto, que ainda levaria à rejeição de $H_0$, mas com uma probabilidade diferente.

(D) Incorreta: O p-valor de 0.0276 está incorreto. Além disso, mesmo que o p-valor fosse 0.0276, ele ainda seria menor que 0.05, o que levaria à rejeição de $H_0$, e não à não rejeição. A conclusão de que o consumo é menor que a mediana histórica também é contrária aos dados (15 positivos vs 3 negativos).

(E) Incorreta: O p-valor de 0.0276 está incorreto. Embora a conclusão de rejeitar $H_0$ estivesse correta se o p-valor fosse 0.0276, a direção da conclusão ("mediana de consumo de iscas menor que a mediana histórica") está errada, pois a maioria dos sinais foi positiva (15 positivos contra 3 negativos).