Questão de Estatística · FGV TJDFT 2022 (nº 39)

Uma série temporal é estacionária se suas propriedades estatísticas, como média e variância, permanecem constantes ao longo do tempo, sem depender do momento em que são observadas. Para um modelo ARIMA(2,0,0), que é um modelo autorregressivo de ordem 2 (AR(2)) da forma $z_t = \phi_1 z_{t-1} + \phi_2 z_{t-2} + \varepsilon_t$, a estacionariedade é garantida se os coeficientes $\phi_1$ e $\phi_2$ satisfazem três condições específicas.

As condições de estacionariedade para um modelo AR(2) são:

1. |\phi_2| < 1\
2. \phi_1 + \phi_2 < 1\
3. $\phi_2 - \phi_1 < 1$

Vamos analisar cada modelo:

Modelo I: $z_t = 0,4z_{t-1} + 0,8z_{t-2} + \varepsilon_t$
Aqui, $\phi_1 = 0,4$ e $\phi_2 = 0,8$.

1. $|0,8| < 1$ (Verdadeiro)
2. $0,4 + 0,8 = 1,2. Esta condição (\1,2 < 1$) é Falsa.
   Portanto, o Modelo I não é estacionário.

Modelo II: $z_t = 0,8z_{t-1} - 0,4z_{t-2} + \varepsilon_t$
Aqui, $\phi_1 = 0,8$ e $\phi_2 = -0,4$.

1. $|-0,4| < 1$ (Verdadeiro)
2. $0,8 + (-0,4) = 0,4. Esta condição (\0,4 < 1$) é Verdadeira.
3. $-0,4 - 0,8 = -1,2$. Esta condição ($-1,2 < 1$) é Verdadeira.
   Todas as três condições são satisfeitas. Portanto, o Modelo II é estacionário.

Modelo III: $z_t = -0,4z_{t-1} + 0,8z_{t-2} + \varepsilon_t$
Aqui, $\phi_1 = -0,4$ e $\phi_2 = 0,8$.

1. $|0,8| < 1$ (Verdadeiro)
2. $-0,4 + 0,8 = 0,4$. Esta condição ($0,4 < 1$) é Verdadeira.
3. $0,8 - (-0,4) = 1,2. Esta condição (\1,2 < 1$) é Falsa.
   Portanto, o Modelo III não é estacionário.

(A) Incorreta: O Modelo I não satisfaz a condição $\phi_1 + \phi_2 < 1$, pois $0,4 + 0,8 = 1,2$, que não é menor que 1. **(B) Correta:** O Modelo II satisfaz todas as três condições de estacionariedade para um AR(2):$|\phi_2| < 1$(pois$|-0,4| < 1$),$\phi_1 + \phi_2 < 1 (pois \0,8 + (-0,4) = 0,4 < 1$) e$\phi_2 - \phi_1 < 1$(pois$-0,4 - 0,8 = -1,2 < 1$). **(C) Incorreta:** O Modelo III não satisfaz a condição$\phi_2 - \phi_1 < 1, pois \0,8 - (-0,4) = 1,2$, que não é menor que 1. A pegadinha aqui é que as duas primeiras condições são satisfeitas, levando a um erro se a terceira condição for esquecida.
(D) Incorreta: Apenas o Modelo II é estacionário.
(E) Incorreta: Apenas o Modelo II é estacionário.