Questão de Estatística · FGV TJDFT 2022 (nº 37)

A distribuição normal bivariada descreve a probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias que estão relacionadas, como os preços do produto importado e nacional. A distribuição condicional nos diz como uma dessas variáveis se comporta (sua média e variância) quando sabemos o valor da outra variável.

Para calcular a média e a variância condicionais de uma variável $X_2$ (preço nacional) dado um valor específico de $X_1$ (preço importado), usamos as seguintes fórmulas:

• Média Condicional: $E[X_2 | X_1 = x_1] = \mu_2 + \rho \frac{\sigma_2}{\sigma_1} (x_1 - \mu_1)$
• Variância Condicional: $Var[X_2 | X_1 = x_1] = \sigma_2^2 (1 - \rho^2)$

Dados do problema:

• Preço importado ($X_1$): $\mu_1 = 100$, $\sigma_1 = 20$
• Preço nacional ($X_2$): $\mu_2 = 80$, $\sigma_2 = 10$
• Correlação ($\rho$): $0.9$
• Valor dado para $X_1$: $x_1 = 105$

Cálculos:

1. Média Condicional:
   $E[X_2 | X_1 = 105] = 80 + 0.9 \times \frac{10}{20} \times (105 - 100)$
   $E[X_2 | X_1 = 105] = 80 + 0.9 \times 0.5 \times 5$
   $E[X_2 | X_1 = 105] = 80 + 0.45 \times 5$
   E[X_2 | X_1 = 105] = 80 + 2.25 = 82.25\

2. Variância Condicional:
   $Var[X_2 | X_1 = 105] = \sigma_2^2 (1 - \rho^2)$
   $Var[X_2 | X_1 = 105] = 10^2 \times (1 - 0.9^2)$
   $Var[X_2 | X_1 = 105] = 100 \times (1 - 0.81)$
   $Var[X_2 | X_1 = 105] = 100 \times 0.19 = 19$

Portanto, a distribuição condicional é $N(82.25; 19)$.

• (A) Correta: A média condicional é 82,25 e a variância condicional é 19, conforme os cálculos usando as fórmulas corretas para a distribuição normal bivariada.
• (B) Incorreta: A média condicional está correta, mas a variância está errada. O valor 190,5 não corresponde a nenhuma fórmula padrão de variância condicional.
• (C) Incorreta: A média condicional está correta, mas a variância está errada. O valor 192 não corresponde a nenhuma fórmula padrão de variância condicional.
• (D) Incorreta: A variância condicional está correta, mas a média está errada. A armadilha da banca aqui é a inversão das variâncias (ou desvios padrão) na fórmula da média condicional: se usarmos $\rho \frac{\sigma_1}{\sigma_2}$ em vez de $\rho \frac{\sigma_2}{\sigma_1}$, teríamos $80 + 0.9 \times \frac{20}{10} \times 5 = 80 + 0.9 \times 2 \times 5 = 80 + 9 = 89$.
• (E) Incorreta: Tanto a média quanto a variância estão incorretas, combinando os erros das alternativas B e D.