Questão de Estatística · FGV TJDFT 2022 (nº 36)

A Função Geratriz de Momentos (FGM) de uma variável aleatória $X$, denotada por $M_X(t)$, é o valor esperado de $e^{tX}$, ou seja, $E[e^{tX}]$. Ela é útil porque suas derivadas em $t=0$ fornecem os momentos da distribuição.

• (A) Incorreta: Esta expressão não corresponde à FGM de uma distribuição geométrica, nem de qualquer distribuição comum.
• (B) Incorreta: Esta é apenas uma parte de uma expressão, não a forma completa de uma FGM, que geralmente é uma soma ou integral.
• (C) Incorreta: Esta é a FGM de uma variável aleatória de Bernoulli (que representa o sucesso ou fracasso em uma única tentativa), não de uma variável aleatória geométrica (que representa o número de tentativas até o primeiro sucesso). A armadilha da banca aqui é confundir a distribuição geométrica com a distribuição de Bernoulli, que são conceitos relacionados, mas distintos.
• (D) Incorreta: Esta expressão é uma forma truncada ou incorreta da FGM de uma distribuição normal, que não se aplica a uma distribuição geométrica.
• (E) Correta: Para uma variável aleatória $X$ com distribuição geométrica (número de tentativas até o primeiro sucesso, inclusive), a função de probabilidade é $P(X=k) = (1-p)^{k-1}p$ para $k=1, 2, 3, \dots$. A FGM é calculada como:
  $M_X(t) = E[e^{tX}] = \sum_{k=1}^{\infty} e^{tk} P(X=k)$
  $M_X(t) = \sum_{k=1}^{\infty} e^{tk} (1-p)^{k-1}p$
  $M_X(t) = p \sum_{k=1}^{\infty} (e^t)^k (1-p)^{k-1}$
  $M_X(t) = p \sum_{k=1}^{\infty} e^{tk} \frac{(1-p)^k}{1-p}$
  $M_X(t) = \frac{p}{1-p} \sum_{k=1}^{\infty} (e^t(1-p))^k$
  Esta é uma série geométrica com razão $r = e^t(1-p)$. A soma de uma série geométrica $\sum_{k=1}^{\infty} r^k$ é $\frac{r}{1-r}$, desde que $|r|<1$.
  $M_X(t) = \frac{p}{1-p} \left( \frac{e^t(1-p)}{1 - e^t(1-p)} \right)$
  $M_X(t) = \frac{p e^t}{1 - e^t(1-p)}$
  Esta é a forma correta da FGM para uma distribuição geométrica.