Questão de Estatística · FGV TJDFT 2022 (nº 35)

Quando temos várias variáveis aleatórias independentes e idênticamente distribuídas (i.i.d.), o máximo delas, $X_{(n)}$, é a maior entre elas. Para calcular a probabilidade de o máximo ser menor ou igual a um valor $x$, usamos a regra de que todos os $X_i$ devem ser menores ou iguais a esse valor, e como são independentes, multiplicamos as probabilidades individuais: $P(X_{(n)} \le x) = [P(X \le x)]^n$, onde $P(X \le x)$ é a Função de Distribuição Acumulada (FDA ou CDF) de uma única variável $X$.

• 1. Encontrar a FDA ($F_X(x)$) de uma única variável $X$:
  A função de densidade de probabilidade (fdp) é $f_X(x) = 2x$ para $0 < x < 1$. A FDA é a integral da fdp:$F_X(x) = \int_0^x 2t \ dt = [t^2]_0^x = x^2 para \0 < x < 1$.

• 2. Calcular $P(X_{(10)} > 0.9)$:
  É mais fácil calcular a probabilidade complementar: $P(X_{(10)} > 0.9) = 1 - P(X_{(10)} \le 0.9)$.

• 3. Calcular $P(X_{(10)} \le 0.9)$:
  Como $X_i$ são i.i.d. e $n=10$, $P(X_{(10)} \le 0.9) = [F_X(0.9)]^{10}$.
  Primeiro, calculamos $F_X(0.9)$: $F_X(0.9) = (0.9)^2 = 0.81$.
  Agora, substituímos na fórmula: $P(X_{(10)} \le 0.9) = (0.81)^{10}$.
  A questão nos fornece $0.9^{10} = 0.35$. Podemos reescrever $(0.81)^{10}$ como $(0.9^2)^{10} = 0.9^{2 \times 10} = 0.9^{20}$.
  Então, $0.9^{20} = (0.9^{10})^2 = (0.35)^2 = 0.1225$.
  Portanto, $P(X_{(10)} \le 0.9) = 0.1225$.

• 4. Finalizar o cálculo:
  $P(X_{(10)} > 0.9) = 1 - 0.1225 = 0.8775$.
  Aproximando para duas casas decimais, temos $0.88$.

• (A) Correta: O cálculo $1 - (0.9^2)^{10} = 1 - (0.9^{10})^2 = 1 - (0.35)^2 = 1 - 0.1225 = 0.8775 \approx 0.88$ está correto.

• (B) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da probabilidade.

• (C) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da probabilidade.

• (D) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da probabilidade.

• (E) Incorreta: Esta seria a resposta se a FDA fosse $F_X(x) = x$ (distribuição uniforme) em vez de $F_X(x) = x^2$. Nesse caso, $P(X_{(10)} \le 0.9) = (0.9)^{10} = 0.35$, e $P(X_{(10)} > 0.9) = 1 - 0.35 = 0.65$. Esta é uma armadilha comum para quem esquece de calcular a FDA corretamente a partir da fdp dada.