Questão de Estatística · FGV TJDFT 2022 (nº 34)

A esperança condicional $E(Y|A)$ é o valor médio de uma variável aleatória $Y$ sabendo que um evento $A$ ocorreu. Para calculá-la, precisamos criar uma função de densidade de probabilidade (PDF) condicional que reflete essa nova informação, normalizando a PDF original na região do evento $A$.

• (A) Incorreta: O valor de 2,1 não corresponde ao cálculo da esperança condicional.
• (B) Incorreta: O valor de 2,3 não é obtido pelos cálculos corretos da esperança condicional.
• (C) Correta: A esperança condicional $E(Y|Y>2)$ é calculada em três passos:
  1. Calcular a probabilidade da condição: $P(Y>2)$.
     $P(Y>2) = \int_2^\infty f_Y(y) dy = \int_2^\infty \frac{5}{y^6} dy = 5 \left[ \frac{y^{-5}}{-5} \right]_2^\infty = \left[ -\frac{1}{y^5} \right]_2^\infty = 0 - (-\frac{1}{2^5}) = \frac{1}{32}$.
  2. Definir a função de densidade de probabilidade condicional: $f_{Y|Y>2}(y)$.
     Para $y>2$, $f_{Y|Y>2}(y) = \frac{f_Y(y)}{P(Y>2)} = \frac{5/y^6}{1/32} = \frac{5}{y^6} \cdot 32 = \frac{160}{y^6}$.
     Para $y \le 2$, $f_{Y|Y>2}(y) = 0$.
  3. Calcular a esperança condicional: $E(Y|Y>2)$.
     $E(Y|Y>2) = \int_2^\infty y \cdot f_{Y|Y>2}(y) dy = \int_2^\infty y \cdot \frac{160}{y^6} dy = \int_2^\infty \frac{160}{y^5} dy$.
     $E(Y|Y>2) = 160 \left[ \frac{y^{-4}}{-4} \right]_2^\infty = 160 \left[ -\frac{1}{4y^4} \right]_2^\infty = 160 \left( 0 - (-\frac{1}{4 \cdot 2^4}) \right) = 160 \left( \frac{1}{64} \right) = \frac{160}{64} = \frac{5}{2} = 2.5$.
• (D) Incorreta: O valor de 2,7 não é o resultado correto da esperança condicional.
• (E) Incorreta: O valor de 2,9 não é o resultado correto da esperança condicional. A armadilha da banca aqui seria não normalizar a PDF condicional ou cometer erros de cálculo nas integrais, levando a um valor diferente.