Questão de Estatística · FGV TJDFT 2022 (nº 33)

O teste Qui-quadrado de independência serve para verificar se existe uma relação estatística (dependência) entre duas variáveis categóricas (como gênero e avaliação), ou se elas são independentes. A hipótese nula ($H_0$) sempre afirma que as variáveis são independentes, enquanto a hipótese alternativa ($H_1$) afirma que são dependentes.

Para decidir, comparamos o valor do $\chi^2$ observado (calculado a partir dos dados) com um valor crítico (obtido de uma tabela Qui-quadrado, usando os graus de liberdade e o nível de significância). Se o valor observado for maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula, concluindo que há dependência.

1. Graus de Liberdade (df): Para uma tabela de contingência, $df = (\text{número de linhas} - 1) \times (\text{número de colunas} - 1)$. Na tabela, temos 2 linhas (Masculino, Feminino) e 2 colunas (Negativa, Positiva). Então, $df = (2-1) \times (2-1) = 1 \times 1 = 1$.
2. Nível de Confiança/Significância: A questão menciona "nível de 10% de confiança". Em testes de hipótese, é mais comum usar "nível de significância ($\alpha$)". Se o nível de confiança é 90%, então o nível de significância ($\alpha$) é $1 - 0.90 = 0.10$(10$\alpha = 0.10$. Em ambos os casos, para$df=1$e$\alpha=0.10$, o **valor crítico do$\chi^2$ é 2,706**.
3. Comparação: O $\chi^2$ observado foi de 6,25. O $\chi^2$ crítico é 2,706. Como $6,25 > 2,706$, o valor observado é maior que o valor crítico.
4. Decisão: Quando o $\chi^2$ observado é maior que o $\chi^2$ crítico, rejeitamos a hipótese nula ($H_0$).
5. Conclusão: Rejeitar $H_0$ (que diz que a avaliação independe do gênero) significa aceitar a hipótese alternativa ($H_1$), ou seja, que a avaliação depende do gênero.

(A) Incorreta: A afirmação "não se pode rejeitar a hipótese nula" está errada, pois o valor observado (6,25) é maior que o valor crítico (2,706), o que leva à rejeição de $H_0$. Consequentemente, a avaliação não independe do gênero.
(B) Incorreta: A afirmação "não se pode rejeitar a hipótese nula" está errada. Além disso, a justificativa "a estatística de teste é menor do que o valor crítico" também está errada (6,25 não é menor que 2,706).
(C) Incorreta: A afirmação "não se pode rejeitar a hipótese nula" está errada. Embora a justificativa "a estatística de teste é maior do que o valor crítico" esteja correta, a decisão inicial está equivocada.
(D) Incorreta: A afirmação "rejeita-se a hipótese nula" está correta, mas a conclusão "a avaliação independe do gênero" está errada (pois rejeitar $H_0$ significa que há dependência). A justificativa "a estatística de teste é menor do que o valor crítico" também está errada.
(E) Correta: A decisão "rejeita-se a hipótese nula" está correta, pois $6,25 > 2,706$. Rejeitar a hipótese nula (de independência) implica que "a avaliação depende do gênero". A justificativa "a estatística de teste é maior do que o valor crítico" está correta e fundamenta a decisão.