Questão de Estatística · FGV TJDFT 2022 (nº 32)

O poder do teste é a probabilidade de rejeitar corretamente a hipótese nula ($H_0$) quando ela é falsa (ou seja, quando a hipótese alternativa ($H_1$) é verdadeira). O erro do tipo I ($\alpha$) é a probabilidade de rejeitar $H_0$ quando ela é verdadeira, e o erro do tipo II ($\beta$) é a probabilidade de não rejeitar $H_0$ quando ela é falsa; o poder do teste é $1 - \beta$.

Para calcular o poder, seguimos estes passos:

1. Definir a região crítica (valor de corte): Com base em $H_0: \mu = 600$ e $\alpha = 2,5\% = 0,025$.

   • O desvio padrão populacional é $\sigma = \sqrt{400} = 20$.
   • O erro padrão da média é $\sigma_{\bar{X}} = \sigma / \sqrt{n} = 20 / \sqrt{100} = 20 / 10 = 2$.
   • Para um teste unilateral à direita ($H_1: \mu > 600$) com $\alpha = 0,025$, o valor crítico $Z_{\alpha}$ na tabela Z é $1,96$.
   • O valor crítico da média amostral ($\bar{X}_c$) é $\bar{X}_c = \mu_0 + Z_{\alpha} \cdot \sigma_{\bar{X}} = 600 + 1,96 \cdot 2 = 600 + 3,92 = 603,92$.
   • A região de rejeição é $\bar{X} > 603,92$.

2. Calcular a probabilidade de erro do tipo II ($\beta$): Quando a média verdadeira é $\mu_1 = 608$.

   • $\beta$ é a probabilidade de não rejeitar $H_0$ quando $\mu = 608$, ou seja, $P(\bar{X} \le 603,92 \mid \mu = 608)$.
   • Padronizamos $\bar{X}_c$ usando a média alternativa $\mu_1$: $Z_{\beta} = \frac{\bar{X}_c - \mu_1}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{603,92 - 608}{2} = \frac{-4,08}{2} = -2,04$.
   • Consultando a tabela Z, $P(Z \le -2,04) \approx 0,0207$. Portanto, $\beta \approx 0,0207$.

3. Calcular o poder do teste:

   • Poder $= 1 - \beta = 1 - 0,0207 = 0,9793$.
   • Convertendo para porcentagem, o poder é $97,93\%$.

(A) Incorreta: Não corresponde ao cálculo do poder do teste.
(B) Incorreta: Não corresponde ao cálculo do poder do teste.
(C) Incorreta: Não corresponde ao cálculo do poder do teste.
(D) Correta: O cálculo do poder do teste resulta em aproximadamente $97,93\%$. A alternativa $97,7\%$ é a mais próxima e pode ser resultado de arredondamentos na tabela Z utilizada (por exemplo, se $\beta$ fosse arredondado para $0,023, então \1 - 0,023 = 0,977$). Uma armadilha comum seria confundir o poder do teste com$1-\alpha = 1 - 0,025 = 0,975 = 97,5%$, que é um valor próximo, mas não o poder do teste calculado para a média alternativa específica. **(E) Incorreta:** Um poder de$100%$significaria que não há erro do tipo II ($\beta=0$), o que raramente ocorre em testes estatísticos práticos.