Questão de Estatística · FGV TJDFT 2022 (nº 31)

Um intervalo de confiança é uma faixa de valores onde esperamos que o verdadeiro valor de um parâmetro (como a média de uma população) esteja, com uma certa confiança (probabilidade). Para aumentar a precisão (tornar o intervalo mais estreito), é preciso diminuir a confiança ou aumentar o tamanho da amostra.

Cálculo:

1. Intervalo inicial (95% de confiança): O intervalo é de 8 a 10 anos.

   • A estimativa pontual (média amostral, $\bar{x}$) é o centro do intervalo: $\bar{x} = (8 + 10) / 2 = 9$ anos.
   • A margem de erro ($ME$) é a metade da largura do intervalo: $ME_{95\%} = (10 - 8) / 2 = 1$ ano.
   • O intervalo pode ser escrito como $9 \pm 1$.

2. Fórmula da Margem de Erro: Para grandes amostras, a margem de erro é dada por $ME = Z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, onde $Z_{\alpha/2}$ é o valor crítico (escore Z) para o nível de confiança, e $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ é o erro padrão da média.

3. Determinando o Erro Padrão da Média:

   • Para 95% de confiança, o valor crítico $Z_{\alpha/2}$ é geralmente $1.96$. No entanto, para que a resposta exata da alternativa C seja alcançada, a banca provavelmente utilizou uma aproximação de$Z_{\alpha/2} \approx 2$ para 95% de confiança (uma simplificação comum).
   • Então, $ME_{95\%} = Z_{0.025} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies 1 = 2 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
   • Isolando o erro padrão da média: $\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1}{2} = 0.5$.

4. Novo Intervalo (85% de confiança):

   • Para 85% de confiança, o valor crítico $Z_{\alpha/2}$ (onde $\alpha = 1 - 0.85 = 0.15$, então $\alpha/2 = 0.075$) é aproximadamente $1.44$(consultando uma tabela Z, o valor para$P(Z < 1.44) = 0.925$).
   • A nova margem de erro ($ME_{85\%}$) será: $ME_{85\%} = Z_{0.075} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.44 \times 0.5 = 0.72$.

5. O novo intervalo de confiança é: $\bar{x} \pm ME_{85\%} = 9 \pm 0.72$.

• (A) Incorreta: A margem de erro de 0,26 é muito pequena, o que implicaria um nível de confiança muito baixo ou um erro padrão da média diferente.
• (B) Incorreta: A margem de erro de 0,34 não corresponde aos cálculos com os valores críticos padrão.
• (C) Correta: Conforme os cálculos, ao diminuir a confiança de 95% para 85%, a margem de erro diminui de 1 para 0,72, tornando o intervalo mais preciso. O novo intervalo é $9 \pm 0,72$.
• (D) Incorreta: A margem de erro de 0,88 é maior do que a margem de erro esperada para 85% de confiança, que deve ser menor que 1.
• (E) Incorreta: A margem de erro de 1,44 é o valor do $Z_{\alpha/2}$ para 85% de confiança, não a margem de erro em si. A margem de erro deve diminuir quando a confiança diminui, e 1,44 é maior que a margem de erro original de 1. Essa alternativa é uma armadilha comum, confundindo o valor crítico Z com a margem de erro total.