Questão de Estatística · FGV TJDFT 2022 (nº 30)

Um Processo de Poisson é um modelo estatístico que descreve a contagem de eventos que acontecem de forma aleatória e independente ao longo do tempo (ou espaço), com uma taxa média constante. A probabilidade de ocorrer $k$ eventos em um determinado intervalo de tempo $t$, com uma taxa $\lambda$ por unidade de tempo, é dada por $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^k}{k!}$.

• Taxa ($\lambda$): 0,4 ajuizamentos por dia.
• Intervalo de interesse para a probabilidade diária: 1 dia.
• Objetivo: Calcular o número médio de dias em uma semana (7 dias) em que ocorre pelo menos uma ação.

Primeiro, calculamos a probabilidade de ocorrer pelo menos uma ação em um único dia.

1. Probabilidade de não ocorrer nenhuma ação em um dia:
   Usando a fórmula de Poisson com $k=0$ e $\lambda t = 0,4 \times 1 = 0,4$:
   $P(X=0 \text{ em um dia}) = \frac{e^{-0,4} (0,4)^0}{0!} = e^{-0,4}$.
2. Probabilidade de ocorrer pelo menos uma ação em um dia:
   É o complementar da probabilidade de não ocorrer nenhuma ação:
   $P(X \ge 1 \text{ em um dia}) = 1 - P(X=0 \text{ em um dia}) = 1 - e^{-0,4}$.
3. Número médio de dias com ocorrência em uma semana:
   Como a semana tem 7 dias e a ocorrência em cada dia é independente, o número médio de dias em que ocorre pelo menos uma ação é simplesmente a quantidade de dias multiplicada pela probabilidade de ocorrência em um dia:
   Número médio = $7 \times (1 - e^{-0,4})$.

Comentário das alternativas:

• (A) Incorreta: A expressão $7(1-7e^{-0,4})$ não corresponde a nenhum cálculo estatístico válido para este problema.
• (B) Incorreta: Esta alternativa calcula a probabilidade de ocorrer pelo menos um evento na semana inteira ($1 - e^{-(0,4 \times 7)}$) e depois multiplica por 7. A armadilha aqui é que a pergunta pede o número médio de dias em que ocorre uma ação, e não a probabilidade de ocorrer algo na semana multiplicada por 7. São 7 "ensaios" (dias) independentes, e queremos a média de "sucessos" (dias com ação). A probabilidade $1-e^{-(0,4*7)}$ é a probabilidade de ter pelo menos um evento em 7 dias, não a probabilidade de ter um evento em um dia específico. Multiplicar essa probabilidade por 7 não resulta no número médio de dias com evento.
• (C) Correta: Esta é a expressão que calculamos. Representa o número de dias na semana (7) multiplicado pela probabilidade de ocorrer pelo menos uma ação em um único dia ($1 - e^{-0,4}$).
• (D) Incorreta: A subtração $7-e^{-0,4}$ não tem fundamento estatístico para resolver o problema.
• (E) Incorreta: A taxa $0,4/7$ seria a taxa média de ajuizamentos por sétimo de dia, o que não é relevante para a questão.