Questão de Estatística · FGV TJDFT 2022 (nº 27)

A probabilidade condicionada nos diz a chance de um evento acontecer sabendo que outro evento já ocorreu. É como ajustar nossas expectativas com base em novas informações. Para calcular a probabilidade de um evento A, dado que um evento B já ocorreu ($P(A|B)$), usamos a fórmula $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, onde $P(A \cap B)$ é a probabilidade de ambos A e B ocorrerem, e $P(B)$ é a probabilidade do evento B.

Vamos definir os eventos e suas probabilidades:

• $X=1$: Time se classificou entre os 4 primeiros. $P(X=1) = 0.40$.
• $X=0$: Time NÃO se classificou entre os 4 primeiros. $P(X=0) = 1 - P(X=1) = 1 - 0.40 = 0.60$.
• $Y=1$: Time venceu o campeonato.
• $Y=0$: Time NÃO venceu o campeonato.

Informações dadas:

• Se classificado ($X=1$), 50% de chance de vencer. $P(Y=1|X=1) = 0.50$.
• Portanto, se classificado ($X=1$), 50% de chance de NÃO vencer. $P(Y=0|X=1) = 1 - P(Y=1|X=1) = 1 - 0.50 = 0.50$.
• Se NÃO classificado ($X=0$), o time NÃO pode vencer o campeonato. $P(Y=1|X=0) = 0$.
• Portanto, se NÃO classificado ($X=0$), o time tem 100% de chance de NÃO vencer. $P(Y=0|X=0) = 1 - P(Y=1|X=0) = 1 - 0 = 1$.

Queremos encontrar a função de probabilidade de $X$ dado que $Y=0$, ou seja, $P(X=0|Y=0)$ e $P(X=1|Y=0)$.

Passo 1: Calcular a probabilidade total de o time NÃO vencer o campeonato, $P(Y=0)$.
Usamos a Lei da Probabilidade Total:
$P(Y=0) = P(Y=0|X=1) \cdot P(X=1) + P(Y=0|X=0) \cdot P(X=0)$
$P(Y=0) = (0.50 \cdot 0.40) + (1 \cdot 0.60)$
$P(Y=0) = 0.20 + 0.60$
$P(Y=0) = 0.80$

Passo 2: Calcular as probabilidades condicionadas usando o Teorema de Bayes.

Para $P(X=1|Y=0)$ (probabilidade de ter se classificado, dado que não venceu):
$P(X=1|Y=0) = \frac{P(Y=0|X=1) \cdot P(X=1)}{P(Y=0)}$
$P(X=1|Y=0) = \frac{0.50 \cdot 0.40}{0.80}$
$P(X=1|Y=0) = \frac{0.20}{0.80}$
$P(X=1|Y=0) = 0.25$

Para $P(X=0|Y=0)$ (probabilidade de NÃO ter se classificado, dado que não venceu):
$P(X=0|Y=0) = \frac{P(Y=0|X=0) \cdot P(X=0)}{P(Y=0)}$
$P(X=0|Y=0) = \frac{1 \cdot 0.60}{0.80}$
$P(X=0|Y=0) = \frac{0.60}{0.80}$
$P(X=0|Y=0) = 0.75$

A função de probabilidade da variável aleatória $X|Y=0$ é:
$P(X|Y=0) = \begin{cases} 0,75; & se\ x=0 \ 0,25; & se\ x=1 \end{cases}$

(A) Incorreta: Esta alternativa confunde $P(Y=0)$ com $P(X=0|Y=0)$ ou $P(X=1)$, ou resulta de um erro de cálculo. A soma das probabilidades é 1, mas os valores não correspondem aos cálculos corretos.
(B) Correta: Os valores $P(X=0|Y=0) = 0.75$ e $P(X=1|Y=0) = 0.25$ foram corretamente calculados usando o Teorema de Bayes, considerando a probabilidade de o time não ter vencido o campeonato.
(C) Incorreta: Esta alternativa sugere que as chances de ter se classificado ou não, dado que não venceu, são iguais (50/50). Isso ignora as probabilidades iniciais e as condições dadas, que não resultam em um cenário de igualdade.
(D) Incorreta: Esta alternativa inverte os valores corretos. É um distrator comum que pode ocorrer se houver um erro na aplicação do Teorema de Bayes ou na atribuição dos resultados a $X=0$ e $X=1$. A armadilha da banca aqui é testar se o aluno entende qual evento corresponde a qual valor de $X$ após o cálculo.
(E) Incorreta: Esta alternativa apresenta valores que não correspondem aos cálculos corretos. Pode ser resultado de uma confusão entre as probabilidades marginais e condicionais.