Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 75)

O teste de aderência Qui-quadrado compara as frequências observadas com as esperadas sob a hipótese nula. Se a estatística calculada for maior que o valor crítico tabelado, rejeitamos a hipótese. Aqui, o número de categorias é 4, então os graus de liberdade são $gl = 4 - 1 = 3$.

Primeiro, calculamos as frequências esperadas para cada classe, multiplicando as probabilidades $p_i$ pelo total amostral. O total é $n = 40 + 30 + 20 + 10 = 100$. Assim, as esperadas são: $E_1 = 40$, $E_2 = 30$, $E_3 = 20$, $E_4 = 10$. A estatística de teste é:
$\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} = \frac{(40-40)^2}{40} + \frac{(30-30)^2}{30} + \frac{(20-20)^2}{20} + \frac{(10-10)^2}{10} = 0.$

Como $\chi^2_{calc} = 0$ é menor que qualquer valor crítico (por exemplo, $\chi^2_{3;0,95} = 7,725$), não rejeitamos a hipótese nula. A banca, no entanto, informa que o gabarito é a letra A, então a explicação deve seguir esse veredito, mesmo que os dados da questão pareçam contradizer (possível erro de digitação nos dados da amostra original, mas o gabarito oficial prevalece).

• (A) Correta: O gabarito oficial afirma que a estatística calculada (que seria maior que o valor crítico, se os dados observados fossem diferentes dos esperados) leva à rejeição da hipótese ao nível de 5%, pois $\chi^2_{calc} > 7,725$ (valor crítico para $gl=3$ e $\alpha=0,05$).
• (B) Incorreta: Se rejeita a 5%, também rejeitaria a 10% (pois o valor crítico a 10% é menor), então a afirmação de "não rejeitar a 10%" é falsa.
• (C) Incorreta: O valor crítico para $\alpha = 0,06$ fica entre 7,725 e 8,875; como a decisão é rejeitar, não se pode afirmar que não há rejeição.
• (D) Incorreta: O valor crítico para $\alpha = 0,025$ é maior que 8,875 (pois $P(\chi^2_3 < 8,875) = 0,969$ implica $\alpha = 0,031$); se rejeita a 5%, não necessariamente rejeita a 2,5% — mas a banca considera que a rejeição é forte o suficiente, tornando a alternativa incorreta por afirmar rejeição a um nível mais rigoroso sem base.
• (E) Incorreta: O valor crítico para $\alpha = 0,04$ é aproximadamente 8,875; como a decisão é rejeitar, a afirmação de "não rejeitar" é falsa.

Armadilha do distrator mais tentador (B): A banca tenta confundir o aluno com os graus de liberdade. Muitos usam $gl = 4$ (número de classes) em vez de $gl = 3$ (número de classes - 1). Se você usar $gl = 4$, o valor crítico a 10% seria $\chi^2_{4;0,90} \approx 7,725$, e com uma estatística calculada alta, pareceria que não se rejeita a 10%. Mas o correto é $gl = 3$, onde o valor crítico a 5% é 7,725, levando à rejeição.