Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 43)

Conceito-chave: Independência entre eventos significa que saber que um ocorreu não muda a probabilidade do outro. Já a probabilidade condicional $P(A|B)$ é a chance de $A$ acontecer dado que $B$ já aconteceu. A pegadinha é confundir independência com disjunção (eventos que não podem ocorrer juntos) ou com "não ter relação" — coisas diferentes.

• (A) Incorreta: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ e $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$; a soma dessas duas frações só seria 1 em casos muito específicos, não é regra geral. A armadilha é achar que "probabilidade de um dado o outro" é complementar, o que não é verdade.
• (B) Incorreta: Independência não é transitiva. Exemplo clássico: lançar dois dados, $A$ = "soma par", $B$ = "primeiro dado par", $C$ = "segundo dado par" — $A$ é independente de $B$ e de $C$, mas $B$ e $C$ são independentes entre si, e $A$ não é independente de $B \cap C$. A armadilha é aplicar transitividade (se $A \perp B$ e $B \perp C$, então $A \perp C$), que não vale em probabilidade.
• (C) Incorreta: Independência dois a dois (pairwise) não garante independência mútua (coletiva). Para serem mutuamente independentes, precisa que $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$ além das três condições dois a dois. A armadilha é achar que a independência par a par "automaticamente" se estende ao conjunto todo — isso é falso (exemplo clássico de Bernstein).
• (D) Incorreta: Se $A, B, C$ são independentes dois a dois, então $P(A \cap B|C) = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(C)}$. Como $A$ e $B$ são independentes, $P(A \cap B) = P(A)P(B)$, mas $P(A \cap B|C)$ não é igual a $P(A)P(B)$; na verdade, com independência mútua, $P(A \cap B|C) = P(A)P(B)$ só se $A \cap B$ for independente de $C$, o que não é garantido por independência dois a dois. A armadilha é achar que condicionar em $C$ "não muda nada" — mas condicionar sempre redefine o espaço amostral.
• (E) Correta: Se $A$ e $B$ são disjuntos ($A \cap B = \emptyset$), então $P(A \cup B|C) = \frac{P((A \cup B) \cap C)}{P(C)} = \frac{P(A \cap C) + P(B \cap C)}{P(C)} = P(A|C) + P(B|C)$. Isso vale porque a interseção com $C$ preserva a disjunção (se $A$ e $B$ não se sobrepõem, $A \cap C$ e $B \cap C$ também não se sobrepõem). A armadilha aqui é o aluno achar que "disjunto" implica "independente" — não implica; na verdade, disjuntos com probabilidades positivas são dependentes (se um ocorre, o outro não pode). Mas a regra da aditividade para eventos disjuntos vale sempre, inclusive sob condicionamento, desde que $P(C) > 0$.