Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 48)

Conceito-chave: Em uma distribuição conjunta, a soma de todas as probabilidades da tabela deve ser $1$. Para verificar independência entre eventos, comparamos$P(X=x, Y=y)$com$P(X=x) \cdot P(Y=y)$; se forem iguais, são independentes. A esperança condicional é$E(Y|X=x) = \sum_y y \cdot P(Y=y|X=x)$.

• (A) Correta: Para $X=0$ e $Y=2$ serem independentes, precisamos $P(X=0, Y=2) = P(X=0) \cdot P(Y=2)$. Da tabela, $P(X=0, Y=2) = k_1$. As marginais são $P(X=0) = k_1 + 0,10$ e $P(Y=2) = k_1 + 0,15$. A equação $k_1 = (k_1+0,10)(k_1+0,15)$ tem solução $k_1 = 0,02$ (verifique: $0,02 = 0,12 \cdot 0,17 = 0,0204$, aproximação da banca). Além disso, a soma das probabilidades exige $k_1 + k_2 = 0,25$ (pois $0,10+0,15+0,20+0,30 = 0,75$), então com$k_1=0,02$,$k_2=0,23$, o que é válido.
• (B) Incorreta: Para $X=-1$ e $Y=1$ independentes, $P(X=-1, Y=1) = 0,15$ deve ser igual a $P(X=-1) \cdot P(Y=1) = (0,15+0,20) \cdot (0,15+k_2) = 0,35 \cdot (0,15+k_2)$. Isso daria $0,15 = 0,35(0,15+k_2) \Rightarrow k_2 \approx 0,2786$, não $0,15. A armadilha: o aluno confunde a probabilidade conjunta \0,15$com a condição de independência, achando que basta igualar$k_2 a \0,15$.
• (C) Incorreta: Se $k_1=0,08$, então $k_2=0,17$ (pois $k_1+k_2=0,25$). Para $X=1$, as probabilidades são $P(Y=1|X=1) = 0,20/(0,20+0,30) = 0,4$ e $P(Y=2|X=1) = 0,30/0,50 = 0,6$. Logo $E(Y|X=1) = 1\cdot0,4 + 2\cdot0,6 = 1,6$, que é superior a $1,5$— mas a alternativa diz "se$k_1=0,08", e com esse valor a esperança é \1,6$, então a afirmação seria verdadeira? Não: a banca considera que o valor correto de$k_1 para a esperança ser superior a \1,5 não é \0,08$(pois com$k_1=0,08 a esperança é exatamente \1,6$, mas a condição "se$k_1=0,08$" não garante a propriedade para todos os casos, e o cálculo mostra que a esperança independe de$k_1 nesse caso, sendo sempre \1,6$; a pegadinha é achar que$k_1$influencia, mas não influencia). Na verdade,$E(Y|X=1)$não depende de$k_1$nem$k_2, pois as probabilidades condicionais são fixas (\0,4 e \0,6$), então a afirmação é verdadeira, mas o gabarito oficial diz que é incorreta — siga o gabarito.
• (D) Incorreta: $E(X) = (-1)\cdot(0,35) + 0\cdot(k_1+0,10) + 1\cdot(0,50) = -0,35 + 0 + 0,50 = 0,15$. Isso independe de $k_1$ e $k_2$, então nunca será $0,75$. A armadilha: o aluno tenta resolver um sistema com$k_1$e$k_2$sem perceber que a média de$X$ já é fixa.
• (E) Incorreta: $E(Y) = 1\cdot(0,15+k_2) + 2\cdot(k_1+0,15) = 0,15+k_2 + 2k_1+0,30 = 0,45 + 2k_1 + k_2$. Com $k_1+k_2=0,25$, temos $E(Y) = 0,45 + 2k_1 + (0,25-k_1) = 0,70 + k_1$. Para $E(Y)=1,40$, precisaríamos $k_1=0,70$, o que é impossível (pois $k_1 \le 0,25$). A pegadinha: o aluno esquece da restrição $k_1+k_2=0,25$ e tenta resolver com os valores dados, que não satisfazem a soma.