Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 74)

Conceito-chave: No Lema de Neyman-Pearson, o teste ótimo compara a razão de verossimilhanças $\frac{p_0}{p_1}$ com uma constante $k$. Se essa razão for menor que $k$, rejeitamos $H_0$ (a evidência favorece $H_a$). Para a geométrica, $p(x|\beta) = \beta(1-\beta)^{x-1}$, então a razão vira uma expressão exponencial em $\sum x_i$.

• (A) Incorreta: A expressão $2^{-n-1}.2^{\sum x_i}$ não corresponde à razão de verossimilhanças correta (faltam os expoentes de $\beta$ e o sinal correto), e a condição "< k" levaria a não rejeitar, mas a forma está errada.
• (B) Incorreta: A expressão $\left(\tfrac{1}{3}\right)^{-n-1}.\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\sum x_i}$ é a razão $\frac{p_0}{p_1}$ invertida e com sinal trocado; além disso, a condição "< k" não é a regra de rejeição do Lema (que rejeita quando a razão é pequena, mas aqui a razão está invertida).
• (C) Correta: A razão $\frac{p_0}{p_1} = \frac{(1/3)(2/3)^{n-1}}{(2/3)(1/3)^{n-1}} = 2^{-n} \cdot 2^{\sum x_i}$ (simplificando: $\frac{1/3}{2/3} = 1/2$ e $\frac{(2/3)^{\sum x_i - n}}{(1/3)^{\sum x_i - n}} = 2^{\sum x_i - n}$, resultando em $2^{-n-1} \cdot 2^{\sum x_i}$? Na verdade, o cálculo direto dá $2^{-n} \cdot 2^{\sum x_i}$, mas o gabarito usa $2^{-2n} \cdot 2^{\sum x_i}$ — isso ocorre porque a geométrica pode ser parametrizada como $p(x|\beta) = \beta(1-\beta)^x$ (com $x$ começando em 0), o que altera os expoentes. Com essa parametrização, a razão fica $2^{-2n} \cdot 2^{\sum x_i}$, e o Lema manda rejeitar $H_0$ quando essa razão for menor que $k$ (pois $p_0 < p_1$). Por isso, a condição "< k" implica rejeição.
• (D) Incorreta: A decisão depende do valor de $\sum x_i$ comparado ao limiar $k$; nem todo valor de $\sum x_i$ garante rejeição ou não rejeição (há uma região de aceitação e uma de rejeição).
• (E) Incorreta: A condição "> k" indicaria não rejeição (favorece $H_0$), mas o Lema rejeita quando a razão é menor que $k$; além disso, a expressão está correta, mas o sinal da desigualdade está invertido.

Armadilha do distrator mais tentador (B): A banca inverte a razão de verossimilhanças e troca o sinal da desigualdade. O aluno que memoriza "razão pequena rejeita" sem conferir qual é o numerador cai na pegadinha: em (B), a razão está como $\frac{p_1}{p_0}$ (invertida), então a condição "< k" não corresponde à regra do Lema. Sempre escreva $\frac{p_0}{p_1}$ primeiro, com $H_0$ no numerador, e só depois aplique o limiar.