Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 42)

Conceito-chave: Eventos ME (mutuamente exclusivos) não podem ocorrer juntos (intersecção vazia). Eventos CE (coletivamente exaustivos) cobrem todo o espaço amostral (união = Ω). Quando uma coleção é ME e CE ao mesmo tempo, ela divide Ω em “pedaços” que não se sobrepõem e que, juntos, formam o todo — exatamente a definição de partição.

• (A) Incorreta: Se A, B e C são CE, isso só garante que a união deles é Ω; eles podem se sobrepor (ex: A = {1,2}, B = {2,3}, C = {1,3} em Ω={1,2,3} são CE, mas não ME). A recíproca também não vale: ME não implica CE (ex: A={1}, B={2} em Ω={1,2,3} são ME, mas não CE).
• (B) Incorreta: A união de uma coleção ME com uma CE não preserva a exclusividade mútua. Ex: A={1}, B={2} (ME) e C={1,2}, D={3} (CE) — juntos, A e C se intersectam (ambos contêm 1), então não são ME.
• (C) Incorreta: A interseção de eventos ME com eventos CE não gera automaticamente eventos ME entre si. Ex: A={1}, B={2} (ME), C={1,2}, D={3} (CE). Então A∩C = {1} e B∩C = {2} são ME, mas A∩D = ∅ e B∩D = ∅; porém A∩C e A∩D são ME (∅), mas B∩C e B∩D também — o problema é que a afirmação generaliza sem garantia; contraexemplo: se A={1,2}, B={3,4} (ME), C={1,3}, D={2,4} (CE), então A∩C={1}, A∩D={2}, B∩C={3}, B∩D={4} — todos ME, mas isso só ocorre por construção específica, não é regra geral. A banca considera incorreta porque a propriedade não é garantida para quaisquer ME e CE.
• (D) Correta: Se uma coleção de eventos é ME (intersecções vazias) e CE (união = Ω), então ela forma uma partição do espaço amostral — cada elemento de Ω pertence a exatamente um evento da coleção. Essa é a definição formal de partição.
• (E) Incorreta: Se A, B e C são CE, a união é Ω, mas se não são ME, as probabilidades podem somar > 1 (devido a sobreposições), porém também podem somar = 1 se as sobreposições tiverem probabilidade zero (ex: eventos com interseção de medida nula). A afirmação “> 1” não é garantida, pois a soma pode ser exatamente 1 em casos degenerados (ex: A e B idênticos com P=0,5, C com P=0,5, todos CE, soma = 1,5? Não — se A=B, C=complemento, P(A)+P(B)+P(C)=0,5+0,5+0,5=1,5>1, mas se A={1}, B={2}, C={1,2} em Ω={1,2}, P soma = 1+1+1=3>1; porém se A={1}, B={1}, C={2}, P soma = 1+1+1=3>1; mas se A={1}, B={1}, C={1} (todos iguais), P soma = 3P({1}) que pode ser 30,3=0,9 <1 — logo a afirmação falha).