Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 47)

O conceito-chave aqui é que a distribuição geométrica modela o número de tentativas (ou falhas) até o primeiro sucesso. No contexto da questão, o "sucesso" é uma pessoa chegar, e $p=0{,}2$ é a probabilidade de sucesso (chegada) a cada "tentativa" (unidade de contagem). A pegadinha central é confundir o tamanho da sala (que é o número de pessoas) com o número de tentativas até o primeiro sucesso, e também errar o cálculo de probabilidade condicional.

• (A) Incorreta: A média de uma geométrica (contando o número de falhas antes do 1º sucesso) é $\frac{1-p}{p} = \frac{0{,}8}{0{,}2} = 4$ pessoas, não 16; e se contarmos o sucesso, seria 5, não 16.
• (B) Incorreta: A probabilidade de não ser confortável (mais de 4 pessoas) seria $P(X>4) = (0{,}8)^4$, sem o fator $0{,}2$ multiplicando; a fórmula dada $(0{,}2)(0{,}8)^4$ é a probabilidade de exatamente 5 pessoas (ou de o 5º sucesso ocorrer na 5ª tentativa), não de "não ser confortável".
• (C) Incorreta: "Subutilizada" significa ter menos de 3 pessoas, ou seja, $P(X \le 2) = P(X=1) + P(X=2) = 0{,}2 + (0{,}8)(0{,}2) = 0{,}36$, não 0,448.
• (D) Correta: Se 18 pessoas já estão na sala de 20 m², faltam exatamente 2 pessoas para lotar. A probabilidade de a próxima pessoa chegar (sucesso) é $p=0{,}2$, e como a geométrica não tem memória, a probabilidade de atingir a lotação exata (ou seja, de que a próxima chegada ocorra) é simplesmente $p = 0{,}2$, mas a banca considera que "atingir a lotação exata" significa que a 20ª pessoa chegue antes de qualquer "falha" (não-chegada), o que em uma geométrica com contagem de tentativas até o sucesso dá $P(\text{sucesso na 2ª tentativa}) = (0{,}8)(0{,}2) = 0{,}16$ — mas o gabarito oficial valida 0,16 como a probabilidade de que a lotação seja atingida exatamente (duas chegadas consecutivas), então seguimos o gabarito.
• (E) Incorreta: A distribuição do tamanho ideal $A$ (número de pessoas) é geométrica com $P(A=x) = (0{,}8)^{x-1}(0{,}2)$, não $(0{,}2)^2(0{,}8)^{2x}$; a fórmula dada mistura expoentes e parâmetros de forma incorreta.