Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 41)

O conceito-chave aqui é que a independência de eventos se preserva quando você considera os complementares. Se dois eventos são independentes ($P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$), então os seus complementares também são independentes, pois a ocorrência ou não de um não influencia a ocorrência ou não do outro. Isso vem direto dos axiomas de probabilidade e da definição de probabilidade condicional.

• (A) Incorreta: A fórmula correta da união é $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$, e como $P(A \cap B) \le P(A) \cdot P(B)$ nem sempre é verdade (só se forem independentes), a desigualdade proposta não é garantida; na verdade, o correto é $P(A \cup B) \le P(A) + P(B)$.
• (B) Incorreta: A armadilha aqui é inverter a lógica: se $A \subset B$, então $P(A) \le P(B)$, mas isso não implica em desigualdade envolvendo os complementares; a relação correta seria $P(A) \le P(B)$ e $P(\bar{B}) \le P(\bar{A})$, mas a multiplicação cruzada não tem fundamento axiomático.
• (C) Incorreta: A pegadinha é que $P(A) \cdot P(\bar{A}) = P(A) \cdot (1 - P(A)) = 0{,}25$ tem solução única $P(A) = 0{,}5$, o que faz $P(A) = P(\bar{A}) = 0{,}5$, contradizendo a afirmação de que são diferentes.
• (D) Correta: Se $A$ e $B$ são independentes, então $\bar{A}$ e $\bar{B}$ também são, pois $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A \cap B)] = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B})$.
• (E) Incorreta: A condição $A \subset B$ e $A \ne B$ garante $P(B) \ge P(A)$, mas a desigualdade estrita $P(B) > P(A)$ só vale se $P(B \setminus A) > 0$, o que não é garantido para eventos não vazios quaisquer (ex.: $A$ com probabilidade 1 e $B$ com probabilidade 1, sendo $A \ne B$).