Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 46)

O conceito-chave aqui é que a mediana divide a distribuição ao meio: é o valor $t$ tal que a probabilidade acumulada até ele seja $0{,}5$. Para uma variável contínua, calculamos a mediana integrando a função de densidade de $0$até$t$e igualando a$0{,}5$.

• (A) Incorreta: A média é $E[T] = \int_0^1 t \cdot 2(1-t)\,dt = 1/3$ de hora, ou seja, 20 minutos, não 25.
• (B) Incorreta: A moda é o ponto de máximo da densidade; como $f_T(t) = 2(1-t)$ decresce de $t=0$ a $t=1$, o máximo ocorre em $t=0$, mas isso é um ponto de fronteira, não uma moda no sentido usual (a densidade é máxima em $t=0$, mas a moda de uma distribuição contínua com densidade decrescente é $0undefined2$, não zero; a armadilha é confundir "densidade máxima" com "moda = 0", mas a moda é o valor da variável, não da densidade — e como a densidade é decrescente, o ponto de maior densidade é$t=0$, mas isso não é uma moda bem definida; a banca marca incorreta).
• (C) Incorreta: $P(T \geq 0{,}5) = \int_{0{,}5}^1 2(1-t)\,dt = (1-0{,}5)^2 = 0{,}25$, ou seja, apenas 25% esperam pelo menos meia hora, não mais de 75%.
• (D) Incorreta: A probabilidade condicional pedida é $P(T \leq 0{,}75 \mid T \geq 0{,}5) = \frac{P(0{,}5 \leq T \leq 0{,}75)}{P(T \geq 0{,}5)} = \frac{(0{,}5)^2 - (0{,}25)^2}{0{,}25} = \frac{0{,}25 - 0{,}0625}{0{,}25} = 0{,}75$, não 0,5. A armadilha é pensar que "já esperou 30 min" zera o tempo, mas a distribuição condicional não é uniforme.
• (E) Correta: A mediana $m$ satisfaz $\int_0^m 2(1-t)\,dt = 0{,}5 \Rightarrow 2m - m^2 = 0{,}5 \Rightarrow m^2 - 2m + 0{,}5 = 0 \Rightarrow m = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \cong 1 - 0{,}7 = 0{,}3$ hora = 18 minutos.