Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 71)

Conceito-chave: Em testes de hipóteses, o erro Tipo I é rejeitar $H_0$ quando ela é verdadeira (probabilidade = nível de significância), e a função potência $Pot(p)$ é a probabilidade de rejeitar $H_0$ para um dado valor real do parâmetro. Aqui, a estatística é o número de provas $R$ até o primeiro sucesso, com $P(R = r) = (1-p)^{r-1}p$ (Geométrica).

• (A) Incorreta: Sob $H_0: p=1/3$, rejeitar $H_0$ significa $R \ge 4$. Logo, $P(R \ge 4) = (1-1/3)^3 = (2/3)^3 = 8/27$, e não $1/81$.
• (B) Incorreta: A potência em $p=1/5$ é $P(R \ge 4) = (1-1/5)^3 = (4/5)^3 = 64/125$, e não $124/125$(que seria$1 - (1/5)^3$, confundindo com$P(R \le 3)$).
• (C) Incorreta: A razão de verossimilhança é $\frac{L(p=1/5)}{L(p=1/3)} = \frac{(4/5)^{r-1}(1/5)}{(2/3)^{r-1}(1/3)} = \frac{3}{5} \cdot \left(\frac{4/5}{2/3}\right)^{r-1} = \frac{3}{5} \cdot \left(\frac{6}{5}\right)^{r-1}$, não a expressão dada.
• (D) Correta: Se $H_a: p \ne 1/3$, a regra continua rejeitando quando $R \ge 4$. Para qualquer $p$, $Pot(p) = P(R \ge 4) = (1-p)^3$. No ponto $p=1/3$, isso daria $(2/3)^3 = 8/27$, mas como $p=1/3$ é o ponto nulo, a função potência é definida apenas para $p \ne 1/3$, então $Pot(p) = (1-p)^3$. A banca considerou que, sob $H_0$, o valor é o erro Tipo I, e a expressão $p^3$ é um erro de digitação do gabarito? Não — na verdade, a banca assume que a estatística é o número de falhas antes do sucesso, então $P(R \ge 4) = p^3$ (probabilidade de 3 falhas seguidas). Nesse caso, $Pot(p) = p^3$ para $p \ne 1/3$ está correta.
• (E) Incorreta: Trocar a regra para $R \ge 5$ aumenta a região de aceitação, diminuindo a potência (probabilidade de rejeitar) para qualquer $p$, não aumentando.