Questão nº 68

Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 68)

FGV2019Técnico Superior Especializado em EstatísticaEstatística

Com o objetivo de produzir uma estimativa por intervalo para a variância populacional, realiza-se uma amostra de tamanho n = 4, obtendo-se, após a extração, os seguintes resultados:

$X_1 = 6,\quad X_2 = 3,\quad X_3 = 11 \text{ e } X_4 = 12$

Informações adicionais:

$P(\chi^2_4 < 0{,}75) = 0{,}05 \qquad P(\chi^2_3 < 0{,}40) = 0{,}05$
$P(\chi^2_4 < 10{,}8) = 0{,}95 \qquad P(\chi^2_3 < 9) = 0{,}95$

Então, sobre o resultado da estimação, e considerando-se um grau de confiança de 90%, tem-se que:

A $5 < \sigma^2 < 72$ ;
B $8 < \sigma^2 < 180$ ;
C $6 < \sigma^2 < 135$ ; (alternativa correta)
D $4 < \sigma^2 < 22$ ;
E $6 < \sigma^2 < 24$ .

Resposta comentada

Gabarito Alternativa C

O conceito-chave é que, para estimar a variância populacional ((\sigma^2)) com uma amostra pequena de uma população normal, usamos a distribuição qui-quadrado com (n-1) graus de liberdade. O intervalo de confiança é construído com a fórmula (\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{superior}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{inferior}}), onde os valores críticos vêm da tabela qui-quadrado.

Primeiro, calcule a média amostral: (\bar{X} = (6+3+11+12)/4 = 8). A variância amostral é (s^2 = \frac{(6-8)^2 + (3-8)^2 + (11-8)^2 + (12-8)^2}{4-1} = \frac{4+25+9+16}{3} = \frac{54}{3} = 18). Com (n=4), temos (n-1 = 3) graus de liberdade. Para 90% de confiança, os quantis são (\chi^2_{3;0,05} = 0,40) (inferior) e (\chi^2_{3;0,95} = 9) (superior). Aplicando: (\frac{3 \times 18}{9} < \sigma^2 < \frac{3 \times 18}{0,40}), resultando em (6 < \sigma^2 < 135).

(A) Incorreta: Usa (n=4) em vez de (n-1=3) nos graus de liberdade, e os valores críticos (0,75) e (10,8) são da tabela com 4 graus, gerando limites errados (5 e 72).
(B) Incorreta: Inverte os valores críticos (coloca 0,40 no denominador do limite inferior e 9 no superior), o que daria (\frac{54}{0,40} = 135) como limite inferior e (\frac{54}{9} = 6) como superior, invertendo a ordem do intervalo.
(C) Correta: Com (s^2 = 18), (n-1=3), e os quantis corretos (\chi^2_{3;0,95}=9) e (\chi^2_{3;0,05}=0,40), o intervalo é (\frac{54}{9} < \sigma^2 < \frac{54}{0,40}), ou seja, (6 < \sigma^2 < 135).
(D) Incorreta: Usa (s^2) sem o fator (n-1) (ou seja, divide por 4 em vez de 3) e aplica os quantis errados, resultando em limites absurdamente baixos (4 e 22).
(E) Incorreta: Mistura os valores críticos de 4 graus de liberdade com o cálculo de (s^2) correto, mas usa os quantis errados (0,75 e 10,8), gerando (6 < \sigma^2 < 24), que não corresponde ao nível de confiança de 90% com 3 graus de liberdade.

Armadilha do distrator mais tentador (B): A banca inverte os quantis da qui-quadrado. Muitos alunos, ao verem (P(\chi^2_3 < 0,40) = 0,05) e (P(\chi^2_3 < 9) = 0,95), pensam que o menor valor (0,40) deve ir no denominador do limite inferior, mas é o contrário: o valor pequeno (0,40) fica no denominador do limite superior (pois divide por um número pequeno, aumentando o limite), e o valor grande (9) fica no denominador do limite inferior. Essa inversão gera o intervalo (135 < \sigma^2 < 6), que é impossível, mas a banca apresenta como (8 < \sigma^2 < 180) para confundir.

Fonte: FGV DPGE-RJ 2019 Técnico Superior Especializado em Estatística (Caderno Tipo 1). Reproduzida para fins de estudo.

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Resposta comentada

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