Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 67)

Conceito-chave: Em um processo MA(2), $y_t$ é uma combinação de ruídos brancos (choques aleatórios) presentes e passados. A média é sempre a constante $K$ (pois a média dos erros é zero), e a variância e as correlações dependem apenas dos coeficientes dos erros defasados, não de $K$.

• (A) Incorreta: A média do processo é $E(y_t) = K$, e não $\frac{K}{1-0{,}4-0{,}2}$. Essa fórmula seria para um modelo AR(2), não MA(2). A armadilha aqui é confundir a estrutura de médias móveis com a de autorregressivas.
• (B) Incorreta: A variância é $Var(y_t) = (1^2 + 0{,}2^2 + 0{,}4^2)\sigma^2 = 1{,}20\sigma^2$, e não $0{,}20\sigma^2$. O erro da banca é esquecer o coeficiente do termo $\varepsilon_t$, que é 1.
• (C) Incorreta: Processos MA são sempre estacionários (desde que os coeficientes sejam finitos), independentemente das raízes do polinômio. A condição das raízes fora do círculo unitário se aplica à invertibilidade do MA, não à estacionariedade. Essa é a pegadinha clássica: trocar estacionariedade por invertibilidade.
• (D) Incorreta: A correlação (e não a covariância) entre $y_t$ e $y_{t-2}$ é $\rho_2 = \frac{0{,}4}{1{,}20} = \frac{1}{3}$, e não $0{,}4\sigma^2$. A alternativa mistura covariância (que seria $0{,}4\sigma^2$) com correlação, que é adimensional.
• (E) Correta: A autocorrelação de defasagem 1 é $\rho_1 = \frac{0{,}2 + 0{,}4 \cdot 0{,}2}{1 + 0{,}2^2 + 0{,}4^2} = \frac{0{,}2 + 0{,}08}{1{,}20} = \frac{0{,}28}{1{,}20} = \frac{7}{30}$. O cálculo usa a fórmula geral $\rho_k = \frac{\sum_{j=0}^{q-k} \theta_j \theta_{j+k}}{\sum_{j=0}^{q} \theta_j^2}$ com $\theta_0=1$, $\theta_1=0{,}2$, $\theta_2=0{,}4$.