Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 66)

Conceito-chave: Quando você omite uma variável relevante ($W$) que é correlacionada com a incluída ($X$), o estimador de $\hat{\delta}_1$ fica viesado (não captura só o efeito de $X$, mas também parte do efeito de $W$). O viés é $T(\hat{\delta}_1) = 3 \times \frac{Cov(X,W)}{Var(X)} = 3 \times \frac{8}{12} = 2$. O $R^2$ e o $\hat{s}^2$ vêm da regressão simples estimada, usando as somas de quadrados dadas.

• (A) Incorreta: O $R^2$ e o viés estão certos, mas $\hat{s}^2 = \frac{SQR}{n-2} = \frac{4000 - 3000}{8} = 125$; porém o viés correto é 2, não 1, então a alternativa falha no $T(\hat{\delta}_1)$.
• (B) Incorreta: O viés está errado (1 em vez de 2) e $\hat{s}^2$ seria 120, mas o cálculo correto com $SQR = 1000$ e $n-2=8$ dá 125, não 120.
• (C) Correta: $R^2 = \frac{SQE}{SQT} = \frac{3000}{4000} = 0{,}75$; $T(\hat{\delta}_1) = 3 \times \frac{8}{12} = 2$; $\hat{s}^2 = \frac{4000 - 3000}{8} = 125$. Tudo bate com o gabarito.
• (D) Incorreta: $R^2 = 0{,}8$ exigiria $SQE = 3200$, mas com $\hat{\delta}_1 = 3+2=5$ e $\sum (Y_i-\bar{Y})X_i = 600$, temos $SQE = 5 \times 600 = 3000$; além disso $\hat{s}^2$ não seria 120.
• (E) Incorreta: O viés está errado (1 em vez de 2) e $\hat{s}^2 = 150$ não confere, pois $SQR = 1000$ dividido por 8 é 125, não 150.

Armadilha do distrator mais tentador (A): A banca coloca o $R^2$ e o $\hat{s}^2$ corretos, mas troca o viés para 1, fazendo você pensar que o viés é apenas o coeficiente de $W$ (3) vezes a covariância (8) sem dividir pela variância de $X$ (12). O aluno que esquece a fórmula $T = \beta_W \times \frac{Cov(X,W)}{Var(X)}$ cai na letra A. Sempre normalize pela variância da variável incluída!