Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 64)

O Teorema de Bayes serve para atualizar uma probabilidade inicial (a “crença” de 80% de que o suspeito mente) usando um novo dado (o resultado do detector). A pegadinha aqui é que o detector não acerta 100% e, principalmente, a probabilidade de “não mentiroso” dado “negativo para mentira” não é simplesmente a taxa de acerto quando fala a verdade (60%) — ela depende também da chance de o sujeito ser mentiroso (80%) e de o detector errar nesse caso.

Vamos calcular com Bayes:

• $P(M) = 0{,}80$ (probabilidade inicial de mentir)
• $P(V) = 0{,}20$ (probabilidade inicial de falar a verdade)
• $P(Positivo|M) = 0{,}90$ (detector acerta quando mente)
• $P(Positivo|V) = 0{,}40$ (detector erra quando fala a verdade, pois acerta 60% no verdadeiro, então dá positivo em 40%)
• $P(Negativo|V) = 0{,}60$ (detector acerta quando fala a verdade)
• $P(Negativo|M) = 0{,}10$ (detector erra quando mente)

Probabilidade de positivo: $P(Positivo) = 0{,}80 \times 0{,}90 + 0{,}20 \times 0{,}40 = 0{,}72 + 0{,}08 = 0{,}80$
Probabilidade de negativo: $P(Negativo) = 0{,}80 \times 0{,}10 + 0{,}20 \times 0{,}60 = 0{,}08 + 0{,}12 = 0{,}20$

Agora, usando Bayes:

• $P(M|Positivo) = \frac{0{,}80 \times 0{,}90}{0{,}80} = 0{,}90$
• $P(V|Positivo) = \frac{0{,}20 \times 0{,}40}{0{,}80} = 0{,}10$
• $P(M|Negativo) = \frac{0{,}80 \times 0{,}10}{0{,}20} = 0{,}40$
• $P(V|Negativo) = \frac{0{,}20 \times 0{,}60}{0{,}20} = 0{,}60$

(A) Incorreta: $P(M|Positivo) = 0{,}90$, não $0{,}72$ — $0{,}72$ é só o numerador ($P(M) \times P(Positivo|M)$), falta dividir pela probabilidade total de positivo ($0{,}80$).

(B) Incorreta: $P(V|Positivo) = 0{,}10$, não $0{,}36$ — $0{,}36$ seria $0{,}60 \times 0{,}60$ (mistura taxas sem usar Bayes).

(C) Correta: $P(V|Negativo) = 0{,}60$ — exatamente o cálculo: $\frac{0{,}20 \times 0{,}60}{0{,}20} = 0{,}60$. A banca considerou essa a única verdadeira, pois o valor coincide com a taxa de acerto no verdadeiro, mas aqui é por Bayes, não por coincidência.

(D) Incorreta: $P(M|Negativo) = 0{,}40$, não $0{,}08$ — $0{,}08$ é só o numerador ($P(M) \times P(Negativo|M)$), sem dividir por $P(Negativo)=0{,}20$.

(E) Incorreta: $P(V|Positivo) = 0{,}10$, não $0{,}25$ — $0{,}25$ seria um valor sem fundamento nos dados; o correto é $0{,}10$.

Armadilha do distrator mais tentador (A): o aluno calcula $0{,}80 \times 0{,}90 = 0{,}72$ e acha que é a resposta, mas esquece de dividir pela probabilidade total do exame dar positivo ($0{,}80$). Isso é o erro clássico de confundir probabilidade conjunta com probabilidade condicional — Bayes exige a divisão pelo “denominador” (a chance de o evento observado ocorrer).