Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 63)

O conceito-chave aqui é que máxima verossimilhança (MV) encontra o valor do parâmetro que torna a amostra observada a mais provável, e para isso usamos o logaritmo da função de verossimilhança e derivamos. Já o método dos momentos (MM) iguala os momentos teóricos da distribuição aos empíricos da amostra. O método dos mínimos quadrados (MQ) não se aplica diretamente a uma densidade como essa, pois ele é para regressão linear (minimizar soma de quadrados de resíduos), não para estimar parâmetro de uma distribuição contínua.

• (A) Incorreta: O MQ não é usado para estimar parâmetro de uma densidade; além disso, a expressão $\sqrt{\sum x_i/n}$ não tem relação com a média da distribuição (que é $3\beta$), então seria um estimador viesado e sem fundamento.
• (B) Correta: A função de verossimilhança é $L(\beta) = \prod_{i=1}^n k x_i^2 e^{-x_i/\beta} \beta^{-3}$. Tomando log, derivando em relação a $\beta$ e igualando a zero, obtemos $\hat{\beta}_{MV} = \frac{\sum x_i}{3n}$, pois $E(X) = 3\beta$ e o MLE coincide com o estimador de momentos da média.
• (C) Incorreta: Pelo método dos momentos, igualamos $E(X^2)$ ao momento amostral $\frac{\sum x_i^2}{n}$. Como $E(X^2) = Var(X) + [E(X)]^2 = 3\beta^2 + 9\beta^2 = 12\beta^2$, teríamos $\hat{\beta}_{MM} = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{12n}}$, e não $\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{3n}}$. A banca trocou o denominador (armadilha: confundir $E(X^2)$ com $3\beta^2$, que é só a variância, esquecendo o quadrado da média).
• (D) Incorreta: $\frac{\sum x_i}{n}$ é a média amostral, que estima $E(X)=3\beta$, então $\hat{\beta} = \frac{\sum x_i}{3n}$ seria o correto; aqui falta o fator $1/3$. Além disso, MQ não se aplica.
• (E) Incorreta: Essa expressão não decorre da maximização da verossimilhança; parece uma tentativa de inverter a função de densidade, mas sem base alguma. O MLE correto é linear na soma dos dados, não inverso.