Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 62)

Conceito-chave: Um estimador pontual é uma “fórmula” que usa os dados para “chutar” um valor de $\theta$. As propriedades principais são: não tendenciosidade (o chute não é sistematicamente alto ou baixo), eficiência (menor variância entre os não tendenciosos), consistência (com muitas amostras, o chute se aproxima do valor real) e suficiência (o estimador resume toda a informação relevante da amostra sobre $\theta$). A pegadinha da questão está em misturar essas definições com fórmulas malucas.

• (A) Incorreta: A eficiência relativa entre um estimador tendencioso $\hat{\theta}$ e um não tendencioso $\check{\theta}$ se compara pelo Erro Quadrático Médio (EQM), onde $EQM(\hat{\theta}) = Var(\hat{\theta}) + [\text{viés}(\hat{\theta})]^2$. Para $\hat{\theta}$ ser mais eficiente, basta que $EQM(\hat{\theta}) < EQM(\check{\theta})$, e como $\check{\theta}$ é não tendencioso, $EQM(\check{\theta}) = Var(\check{\theta})$. A condição correta seria $EQM(\hat{\theta}) < Var(\check{\theta})$, mas a alternativa diz “só poderá ser mais eficiente caso...”, o que é falso, pois essa é uma condição suficiente, não necessária (e a comparação correta é com o EQM do outro, não apenas com a variância).
• (B) Incorreta: Eficiência assintótica (quando $n \to \infty$) exige que o estimador seja assintoticamente não tendencioso (viés tende a zero) e que sua variância atinja o limite inferior de Cramér-Rao. Mas a alternativa diz “condição necessária é que ele seja não tendencioso, também em termos assintóticos” — isso é verdade, mas a alternativa está incompleta e mal formulada, pois não é a única condição (precisa também da variância mínima). A banca considera incorreta porque a redação sugere que basta ser não tendencioso, o que é falso.
• (C) Incorreta: Se $EQM(\hat{\theta}) \to +\infty$, isso não implica que a probabilidade $P(|\hat{\theta} - \theta| < \varepsilon)$ não tenda a zero. Pela desigualdade de Chebyshev, $P(|\hat{\theta} - \theta| \geq \varepsilon) \leq \frac{E[(\hat{\theta}-\theta)^2]}{\varepsilon^2} = \frac{EQM(\hat{\theta})}{\varepsilon^2}$. Se o EQM vai a infinito, o limite superior da probabilidade de erro vai a infinito, mas isso não diz nada sobre o limite da probabilidade em si — ela pode convergir para 0, 1 ou qualquer valor entre 0 e 1. A alternativa afirma que “não pode ser zero”, o que é uma conclusão inválida.
• (D) Correta: Pelo Teorema da Fatoração de Neyman-Fisher, um estimador $\hat{\theta}$ é suficiente para $\theta$ se a densidade conjunta da amostra $f_{X_1,\dots,X_n}(x_1,\dots,x_n;\theta)$ puder ser fatorada como $g(\hat{\theta};\theta) \cdot h(x_1,\dots,x_n)$, onde $g$ depende dos dados apenas através de $\hat{\theta}$ e $h$ não depende de $\theta$. Na alternativa, $f_{X_1,\dots,X_n} = \theta \cdot \lambda(x_1,\dots,x_n)$ e $f_{\hat{\theta}} = \theta \cdot k(x_1,\dots,x_n) - \theta$ (que é uma forma estranha de escrever $\theta[k(x_1,\dots,x_n) - 1]$). A fatoração mostra que a densidade conjunta depende de $\theta$ apenas multiplicativamente, e o estimador $\hat{\theta}$ (que é função dos dados) carrega toda a informação sobre $\theta$, pois a parte que não depende de $\theta$ é $\lambda(x_1,\dots,x_n)$. Assim, $\hat{\theta}$ é suficiente.
• (E) Incorreta: Um estimador pode ser assintoticamente tendencioso (viés tende a um valor constante não nulo) e ainda ser consistente, desde que esse viés tenda a zero mais rápido que o crescimento da variância. Na verdade, a definição de consistência exige que $\hat{\theta} \xrightarrow{p} \theta$, o que pode ocorrer mesmo com viés assintótico pequeno, se a variância também tender a zero. O que é proibido é viés que não desaparece no limite. A alternativa afirma categoricamente que “não poderá ser consistente”, o que é falso.

Dica para não cair na pegadinha: A banca adora inverter definições. Na letra (A), ela troca “condição suficiente” por “condição necessária”. Na (C), ela usa o fato de o EQM explodir para concluir algo sobre a probabilidade, o que é um salto lógico. Na (E), ela confunde “tendencioso” com “inconsistente”. Sempre verifique se a afirmação é exatamente a definição formal, sem “só”, “necessário” ou “não poderá” — essas palavras são os gatilhos da pegadinha.