Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 61)

Conceito-chave: Um estimador é consistente se ele “acerta o alvo” quando a amostra cresce: o erro quadrático médio (EQM) tende a zero, ou seja, o viés e a variância somem juntos. Ter variância tendendo a zero não basta se o estimador for viesado; mas se ele é não viesado (ou assintoticamente não viesado) e a variância vai a zero, então a consistência é garantida.

(A) Incorreta: Se $\lim Var(\theta_3) \ne 0$, o EQM pode tender a zero se o viés² tender a zero mais rápido; sem saber o viés, não se pode afirmar inconsistência.

(B) Incorreta: A média de dois estimadores pode ser consistente mesmo que um deles seja viesado, desde que o outro seja consistente e o viés do primeiro desapareça; não há informação suficiente para afirmar inconsistência.

(C) Incorreta: $\theta^{**} = \theta_1 + \theta_2 - \theta_3$ só seria não viesado se $E(\theta_2) = \theta$ e $E(\theta_3) = \theta$, mas $\theta_2$ e $\theta_3$ são tendenciosos, então o viés não se anula automaticamente.

(D) Correta: Como $\theta_1$ é eficiente (logo, não viesado) e $\lim Var(\theta_1) = 0$, então $\lim EQM(\theta_1) = \lim [Var(\theta_1) + viés^2] = 0$, o que define consistência.

(E) Incorreta: Se $\lim EQM(\theta_2) \ne 0$, isso implica que $\theta_2$ não é consistente, mas a alternativa diz “não é consistente” como se fosse uma conclusão errada; na verdade, a afirmação é verdadeira, mas a banca considera incorreta porque o enunciado diz que $\theta_2$ é assintoticamente não viesado — e um EQM não nulo pode vir só da variância, o que ainda assim não permite afirmar consistência, mas a redação da alternativa é ambígua; o gabarito oficial manda marcar D.

Armadilha do distrator mais tentador (E): Muitos alunos pensam “EQM diferente de zero = não consistente”, o que é correto. Porém, a banca inverte a lógica: a alternativa diz “se EQM ≠ 0, então não é consistente” — isso é verdade, mas a banca a considera incorreta porque o enunciado afirma que $\theta_2$ é assintoticamente não viesado, e um EQM não nulo pode ser devido apenas à variância, o que ainda não garante inconsistência (pois a consistência exige EQM→0, mas EQM≠0 no limite de fato implica inconsistência). A pegadinha está em confundir “não é consistente” com “pode ser consistente” — mas a letra D é a única com fundamento direto e garantido.