Questão nº 59
Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 59)
Com o objetivo de estimar uma proporção populacional, será extraída uma amostra aleatória simples. O tamanho dessa amostra será determinado pelas escolhas do erro amostral (E), do grau de confiança e por hipóteses sobre o verdadeiro valor da proporção (p). Além disso, com Z~N(0,1), sabe-se que:
Dentre as alternativas abaixo, todas tidas como aceitáveis, a mais econômica é:
- AE = 0,02, = 20% e p = 0,5;
- BE = 0,02, = 20% e p = 0,6;
- CE = 0,03, = 5% e p = 0,4;
- DE = 0,03, = 5% e p = 0,5;
- EE = 0,025, = 10% e p = 0,5. (alternativa correta)
Resposta comentada
Gabarito Alternativa E
O tamanho da amostra para estimar uma proporção é calculado por (n = \frac{z^2 \cdot p(1-p)}{E^2}). Para ser mais econômica (menor amostra), queremos o menor numerador ((z^2 \cdot p(1-p))) e o maior denominador ((E^2)). O valor de (z) depende do nível de confiança: para (\alpha = 20%), (z \approx 1{,}25); para (\alpha = 10%), (z \approx 1{,}5); para (\alpha = 5%), (z \approx 2).
- (A) Incorreta: (E=0{,}02) (grande denominador, mas (z=1{,}25) e (p=0{,}5) dão (n \approx \frac{1{,}25^2 \cdot 0{,}25}{0{,}0004} \approx 977), maior que a correta.
- (B) Incorreta: mesmo (E) e (\alpha) da A, mas (p=0{,}6) dá (p(1-p)=0{,}24), ainda (n \approx 938), maior que a correta.
- (C) Incorreta: (E=0{,}03), (\alpha=5%) ((z=2)), (p=0{,}4) → (n \approx \frac{4 \cdot 0{,}24}{0{,}0009} \approx 1067), bem maior.
- (D) Incorreta: (E=0{,}03), (\alpha=5%), (p=0{,}5) → (n \approx \frac{4 \cdot 0{,}25}{0{,}0009} \approx 1111), maior que a correta.
- (E) Correta: (E=0{,}025), (\alpha=10%) ((z=1{,}5)), (p=0{,}5) → (n \approx \frac{2{,}25 \cdot 0{,}25}{0{,}000625} = 900), o menor valor entre todas. A pegadinha está em pensar que menor erro ou maior confiança sempre exige amostra maior; aqui, o erro (0{,}025) e confiança (90%) combinados com (p=0{,}5) (máxima variabilidade) ainda resultam na menor amostra, pois o (z) pequeno compensa.
Fonte: FGV DPGE-RJ 2019 Técnico Superior Especializado em Estatística (Caderno Tipo 1). Reproduzida para fins de estudo.