Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 58)

Conceito-chave: A soma de $n$ Bernoulli independentes com mesmo $p$ é uma Binomial exata, e não uma Normal; a Normal só aparece como aproximação para $n$ grande (Teorema Central do Limite). Já o número de tentativas até o $J$-ésimo sucesso é uma Binomial Negativa (ou Pascal), que conta quantas vezes você precisa repetir o experimento.

• (A) Incorreta: Se a extração termina no primeiro sucesso ($X_K=1$), $K$ é o número de tentativas até o 1º sucesso, que é uma Geométrica (caso especial da Binomial Negativa com $J=1$), não uma Pascal genérica com parâmetro $p$ (a Pascal exige dois parâmetros: $J$ e $p$).
• (B) Incorreta: $\sum X_i / n$ é uma proporção amostral, que assume valores $0, 1/n, 2/n, \dots, 1$; não é Bernoulli (que só assume 0 ou 1). Sua distribuição é uma Binomial escalada por $1/n$.
• (C) Incorreta: $\sum X_i$ tem distribuição Binomial exata $(n,p)$; ela converge em distribuição para uma Normal apenas quando $n \to \infty$ (após padronização), mas não "converge" no sentido de ser Normal para qualquer $n$ finito.
• (D) Correta: Se o processo para quando ocorre o $J$-ésimo sucesso, $K$ (número total de tentativas até esse sucesso) segue exatamente a Binomial Negativa com parâmetros $J$ (número de sucessos) e $p$ (probabilidade de sucesso). A armadilha da banca aqui é confundir com a Geométrica (que é só o caso $J=1$) ou com a Pascal que conta só o número de fracassos antes do $J$-ésimo sucesso — mas a definição clássica de Pascal/Binomial Negativa é exatamente essa: $K$ = tentativas totais até o $J$-ésimo sucesso.
• (E) Incorreta: $\sum X_i$ tem distribuição Binomial com média $np$ e variância $np(1-p)$, não média $p$ e variância $p(1-p)$ (esses são os parâmetros da proporção amostral $\sum X_i/n$, e mesmo assim só aproximadamente Normal para $n$ grande).