Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 57)

O conceito-chave é que qualquer combinação linear de variáveis normais independentes também é Normal. Como a amostra vem de uma população Normal, a média amostral $\bar{X}$ é Normal, e ao multiplicá-la por uma constante ($\sqrt{n}$), ela continua Normal — só muda a variância.

• (A) Incorreta: $\sum X_i^2$ é Qui-quadrado com n graus de liberdade apenas se $\sigma^2 = 1$ (ou se você padronizar por $\sigma^2$). Como $\sigma^2$ é desconhecido, a estatística $\sum X_i^2 / \sigma^2$ é que seria Qui-quadrado com n gl; a forma crua $\sum X_i^2$ tem distribuição proporcional a uma Qui-quadrado, mas não é Qui-quadrado com n gl.
• (B) Correta: Como $X_i \sim N(0, \sigma^2)$, temos $\bar{X} \sim N(0, \sigma^2/n)$. Multiplicando por $\sqrt{n}$, obtemos $\sqrt{n}\bar{X} \sim N(0, \sigma^2)$ — ou seja, é exatamente uma distribuição Normal (com média zero e variância $\sigma^2$). A pegadinha aqui é que muitos alunos acham que precisa dividir por $\sigma$ para "padronizar", mas a questão só pede a distribuição, que continua Normal.
• (C) Incorreta: A soma dos desvios quadráticos $\sum (X_i - \bar{X})^2$ dividida por $\sigma^2$ é que tem distribuição Qui-quadrado com n-1 graus de liberdade (não n). A forma crua não é Qui-quadrado.
• (D) Incorreta: A razão $\dfrac{X_i}{X_j + X_k}$ não tem distribuição F-Snedecor. A F-Snedecor surge da razão de duas Qui-quadrados independentes divididas pelos seus graus de liberdade, e aqui temos uma Normal dividida por uma soma de normais (que não é uma Qui-quadrado independente).
• (E) Incorreta: O produto de duas normais independentes $X_i \cdot X_j$ não tem distribuição de Cauchy. A distribuição de Cauchy surge da razão de duas normais independentes (como $X_i/X_j$), não do produto. O produto de normais tem uma distribuição mais complexa (chamada de "produto normal"), que não é Cauchy.

Armadilha da banca na alternativa (A): Ela é a mais tentadora porque parece "óbvia" que a soma de quadrados de normais padrão é Qui-quadrado. Mas a banca omitiu que isso só vale se as variáveis forem padronizadas (divididas por $\sigma$). Como $\sigma$ não é 1, a alternativa está errada — e muitos alunos caem nela por decorar a definição sem prestar atenção no parâmetro de escala.