Questão nº 56

Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 56)

FGV2019Técnico Superior Especializado em EstatísticaEstatística

Se X é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade representada por $f_X(x)$ , considere a função dada por:

$M_X(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{xt}.f_X(x)\,dx\$

Então:

Ase $M_X(t) = \dfrac{\lambda}{\lambda - t}$ ; $\lambda > 0$ , então E(X) = 2λ;
Bse Y = a.X + b, então $M_Y(t) = e^{bt}.M_X(at)$ ;
Cse $M_X(t) = e^{\mu t}.e^{(\sigma t)^2/2}$ , então $Var(X) = \sigma^2$ ; (alternativa correta)
Dse $Z = \sum X_i$ é uma soma de variáveis aleatórias, então $M_Z(t) = M_{X_1}(t).M_{X_2}(t)\dots M_{X_n}(t) = \prod M_{X_i}(t)$ ;
Ese $M_X(t) = M_Y(t), \forall t$ , então X e Y são independentes.

Resposta comentada

Gabarito Alternativa C

A função geradora de momentos (FGM) é uma “assinatura” da distribuição: a partir dela, derivando em $t=0$ , obtemos os momentos (média, variância etc.). A pegadinha clássica é confundir propriedades válidas (como a da soma de independentes) com condições que exigem independência ou parâmetros específicos.

(A) Incorreta: Se $M_X(t)=\frac{\lambda}{\lambda-t}$ , então $E(X)=\frac{1}{\lambda}$ (derivada primeira em $t=0$ ), e não $2\lambda$ ; a banca trocou o parâmetro para confundir.
(B) Incorreta: A transformação correta é $M_Y(t)=e^{bt}M_X(at)$ ; a alternativa escreveu $M_X(at)$ sem o fator $e^{bt}$ , o que só valeria se $b=0$ .
(C) Correta: A FGM dada é exatamente a da normal com média $\mu$ e variância $\sigma^2$ ; derivando duas vezes e subtraindo o quadrado da média, obtém-se $Var(X)=\sigma^2$ .
(D) Incorreta: A propriedade do produto vale somente se as $X_i$ forem independentes; a alternativa omite essa condição essencial, tornando-a falsa em geral.
(E) Incorreta: Igualdade de FGM implica mesma distribuição, não independência; independência é outra propriedade, e a banca usa o termo para induzir erro.

Fonte: FGV DPGE-RJ 2019 Técnico Superior Especializado em Estatística (Caderno Tipo 1). Reproduzida para fins de estudo.

Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 56)

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