Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 55)

Conceito-chave: Convergência quase certa, em probabilidade e em distribuição são formas diferentes de medir “quão perto” uma sequência de variáveis aleatórias chega de um limite. A quase certa é a mais forte (o evento de não convergir tem probabilidade zero), a em probabilidade é mais fraca, e a em distribuição é a mais fraca (só aproxima as funções de distribuição).

• (A) Incorreta: Na convergência quase certa, o que é nulo é a probabilidade do evento de não convergência, não o “limite da probabilidade”; a definição correta é $P(\lim X_n = X) = 1$.
• (B) Incorreta: A afirmação “a probabilidade do limite é 1” é vaga e falsa como está; o correto é $P(\lim\limits_{n\to\infty} X_n = X) = 1$, ou seja, a probabilidade do evento de convergência é 1, não “a probabilidade do limite”.
• (C) Incorreta: Convergência em probabilidade não “demonstra” que a probabilidade clássica aproxima-se da frequencial; isso é a Lei dos Grandes Números, que usa convergência quase certa ou em probabilidade, mas não é uma equivalência direta.
• (D) Incorreta: A condição dada é $\lim P(|X_n - X| < \varepsilon) = 0$, o que é o oposto da definição de convergência em probabilidade (que exige $\lim P(|X_n - X| \geq \varepsilon) = 0$); além disso, convergência em probabilidade implica em distribuição, mas a condição escrita está errada.
• (E) Correta: Se $X_n \xrightarrow{d} X$ e $Y_n \xrightarrow{d} Y$ com $Y$ constante real, então $X_n Y_n \xrightarrow{d} XY$ — isso é o Teorema de Slutsky, que permite multiplicar por uma constante (ou variável que converge em distribuição para uma constante) sem quebrar a convergência em distribuição.

Comentário do distrator mais tentador (B): A banca coloca “probabilidade do limite é 1” para confundir com a definição de convergência quase certa, que é $P(\lim X_n = X) = 1$. A pegadinha está na ordem das palavras: não é “a probabilidade do limite”, mas “a probabilidade do evento de convergência”. Muita gente marca B por achar que é a definição, mas a redação está incorreta.