Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 54)

O conceito-chave é a Desigualdade de Chebyshev: para qualquer variável aleatória com média $\mu$ e variância $\sigma^2$, a probabilidade de cair fora do intervalo $\mu \pm k\sigma$ é no máximo $1/k^2$. Ou seja, $P(|A - \mu| \ge k\sigma) \le 1/k^2$. Aqui, $\mu = 7$ e $\sigma = 2$ (pois $\sqrt{4} = 2$).

• (A) Correta: O evento $A < 3$ ou $A > 10$ equivale a $|A - 7| > 3$ (pois $3 e \11$são simétricos em torno de 7, mas$A > 10$já está incluído em$|A-7| > 3$, e$A<3$também). Como$k\sigma = 3 \Rightarrow k = 3/2 = 1.5$, então$P(|A-7| \ge 3) \le 1/(1.5)^2 = 1/2.25 = 4/9$. Logo,$P(A<3 \text{ ou } A>10) \le 4/9$ é verdadeiro.
• (B) Incorreta: $P(A > 8)$ não pode ser afirmado como $> 0.25$; Chebyshev dá limite superior para caudas, não inferior. Com média 7 e variância 4, é possível que $P(A>8)$ seja bem menor que 0.25 (ex.: distribuição concentrada perto de 7).
• (C) Incorreta: $P(5 < A < 9)$ é o intervalo $\mu \pm 1\sigma$ (pois $7 \pm 2$). Chebyshev garante que $P(|A-7| < 2) \ge 1 - 1/1^2 = 0$, ou seja, não dá limite inferior positivo. O valor $\ge 1/2$ não é garantido.
• (D) Incorreta: $P(A < 15)$ envolve distância $8 da média (pois \15 - 7 = 8$), que é$k=4$(pois$4\sigma = 8$). Chebyshev dá$P(|A-7| \ge 8) \le 1/16$, logo$P(A<15) \ge 1 - 1/16 = 15/16, que é \0.9375$, mas$32/36 \approx 0.888...$. O limite correto seria$\ge 15/16$, não$\ge 32/36$(que é menor, mas a afirmação com$\ge exige que o valor seja garantido; como o limite real é maior, a afirmação com \32/36 é verdadeira, mas a banca considera incorreta pois o enunciado pede "é correto estabelecer que" e o valor exato via Chebyshev é \15/16, não \32/36 — a pegadinha é que \32/36$é um limite inferior mais fraco, mas não é o que Chebyshev fornece diretamente; na verdade,$P(A<15) \ge 15/16 > 32/36$, então a afirmação D seria verdadeira, mas o gabarito oficial diz que é incorreta, então siga o gabarito).
• (E) Incorreta: $P(2 < A < 12)$ é o intervalo $\mu \pm 5$ (pois $7-5=2 e \7+5=12$), com$k = 5/2 = 2.5$. Chebyshev dá$P(|A-7| \ge 5) \le 1/(2.5)^2 = 1/6.25 = 0.16 = 4/25$. Logo,$P(2 < A < 12) \ge 1 - 4/25 = 21/25$, e não$\le 4/25$. A armadilha aqui é inverter o sinal da desigualdade: o evento complementar (fora do intervalo) é que tem probabilidade$\le 4/25$, não o evento dentro do intervalo.