Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 53)

Conceito-chave: Quando transformamos variáveis aleatórias por uma função linear, o domínio (região onde a densidade é diferente de zero) também é transformado geometricamente. Um quadrado unitário vira um paralelogramo (ou losango) no novo plano, e a área desse novo domínio é a área original multiplicada pelo valor absoluto do Jacobiano da transformação inversa.

• (A) Incorreta: $E(W) = E(X) - E(Y) = 0,5 - 0,5 = 0$, enquanto $E(Z) = E(X) + E(Y) = 1$. Logo, $E(W) \neq E(Z)$.
• (B) Incorreta: O Jacobiano da transformação direta $\frac{\partial(z,w)}{\partial(x,y)} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2$, cujo valor absoluto é $2, não \0,25. O Jacobiano da transformação inversa seria \1/2 = 0,5$.
• (C) Incorreta: $Var(Z) = Var(X) + Var(Y) = 1/12 + 1/12 = 1/6$ e $Var(W) = Var(X) + Var(Y) = 1/6$ (pois $Var(-Y)=Var(Y)$). Portanto, $Var(Z) = Var(W)$.
• (D) Incorreta: $Z$ e $W$ são correlacionadas (covariância $Cov(Z,W) = Var(X) - Var(Y) = 0$, mas a independência falha porque o domínio conjunto é um losango, não um retângulo — a densidade conjunta não fatora como produto das marginais).
• (E) Correta: O domínio original $0<x<1, 0<y<1$é um quadrado de lado 1. Sob a transformação linear, vira um **losango** (que é um quadrado rotacionado) com vértices em$(1,0)$,$(2,0)$,$(0,1)$e$(0,-1)$no plano$(Z,W). Esse losango tem diagonais de comprimento \2$(de$Z=0$a$Z=2) e \2$(de$W=-1$a$W=1). A medida da diagonal (maior) é exatamente \2$.

Comentário do distrator mais tentador (C): A banca tenta fazer o aluno acreditar que $Z$ tem variância maior porque "soma" enquanto $W$ "subtrai". A armadilha é ignorar que $Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)$ e $Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y)$ — o sinal não muda a variância, pois $Var(-Y) = Var(Y)$. Só a covariância entre $X$ e $Y$ faria diferença, mas aqui $X$ e $Y$ são independentes, então a covariância é zero.