Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 52)

Conceito-chave: A esperança é um operador linear (E[aX+b] = aE[X]+b), mas não vale para funções não lineares: E[g(Y)] ≠ g(E[Y]). Ou seja, você não pode calcular E[Y²] como (E[Y])² = 64, nem E[∛Y] como ∛8 = 2, porque a variância (36) mostra que Y se espalha muito, e funções não lineares "distorcem" essa dispersão.

• (A) Incorreta: 62 seria o resultado se você erradamente usasse E[Y²] = 64 e E[∛Y] = 2 (64 – 2 = 62), mas isso ignora a variância e a não linearidade.
• (B) Incorreta: O intervalo [62, 98] também parte do mesmo erro de linearidade; o valor real é bem maior, pois E[Y²] = Var(Y) + [E(Y)]² = 36 + 64 = 100, e E[∛Y] é positivo, mas pequeno (menor que 2, por Jensen, já que ∛ é côncava), então E[Z – W] ≈ 100 – algo < 2, ou seja, > 98.
• (C) Correta: Pela fórmula E[Y²] = Var(Y) + (E[Y])² = 36 + 64 = 100. Como Y > 0 e ∛Y < Y para Y > 1 (e Y tem média 8, então quase toda massa está acima de 1), E[∛Y] < 2 (pela desigualdade de Jensen, pois ∛ é côncava). Logo E[Z – W] = 100 – E[∛Y] > 100 – 2 = 98.
• (D) Incorreta: [48, 62) viria de subtrair algo grande de 100, mas E[∛Y] é pequeno (menor que 2), não grande; o valor real fica acima de 98.
• (E) Incorreta: Menor que 48 exigiria E[∛Y] > 52, impossível para Y com média 8 (pois ∛Y cresce muito lentamente; mesmo Y=1000 daria ∛Y=10).

Armadilha da banca (distrator mais tentador – letra A): O aluno apressado calcula E[Y²] como (E[Y])² = 64 e E[∛Y] como ∛(E[Y]) = 2, obtendo 62. Mas isso é falso porque a esperança de uma função não linear não é a função da esperança. A variância (36) é justamente o "erro" dessa aproximação: E[Y²] = Var(Y) + (E[Y])² = 100, não 64. Sempre que vir E[g(Y)], use a definição ou propriedades (como Var), nunca troque a ordem.