Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 51)

Conceito-chave: Quando transformamos uma variável $X$ em $Z = g(X)$, não podemos simplesmente substituir $x$ por $z$ na densidade. Precisamos usar o método do Jacobiano (ou CDF): $f_Z(z) = f_X(g^{-1}(z)) \cdot \left| \frac{d}{dz} g^{-1}(z) \right|$, ajustando o domínio. Aqui, $x = z^2$ e $\frac{dx}{dz} = 2z$.

• (A) Incorreta: A armadilha é simplesmente trocar $x$ por $z^2$ na fórmula original ($\frac{1}{8}z^2$), esquecendo o fator $2zundefined0<z<2$está certo, mas a densidade não integra 1 (integraria$\frac{1}{3}$, não 1).
• (B) Incorreta: A esperança correta é $E[Z] = \int_0^2 z \cdot \frac{1}{4}z^3 \, dz = \frac{1}{4} \cdot \frac{2^5}{5} = \frac{8}{5} = 1,6$, não 0,45. Esse valor 0,45 parece um chute sem base.
• (C) Incorreta: $P(Z>1) = P(\sqrt{X} > 1) = P(X > 1)$, não $P(X>2)$. A função $\sqrt{X}$ é crescente, mas a desigualdade inverte o limiar: $Z>1 \iff X>1^2 = 1$.
• (D) Incorreta: A mediana de $Z$ é o valor $m$ tal que $P(Z \le m) = 0,5$. Calculando: $\int_0^m \frac{1}{4}z^3 dz = \frac{m^4}{16} = 0,5 \Rightarrow m^4 = 8 \Rightarrow m = \sqrt[4]{8} \approx 1,68$, não 1,25.
• (E) Correta: Pelo Jacobiano: $f_Z(z) = f_X(z^2) \cdot 2z = \frac{1}{8}(z^2) \cdot 2z = \frac{1}{4}z^3$, para $0<z<2$(pois$0<x<4 \Rightarrow 0<z<2$). Essa densidade integra 1:$\int_0^2 \frac{1}{4}z^3 dz = \frac{16}{16} = 1$.